Positiv definit

09.06.2011, 07:17

Taladan

Positiv definit

Hallo,

ich habe ein verständnisproblem, was positiv Definit bedeutet. Das google brachte zwar viele Treffer, aber nicht viel Verständnis. Mag mir vielleicht jemand erklären (mit einfachen Worten) was das ist?

lg marco

09.06.2011, 10:00

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja ... Wenn du eine Matrix hast und die positiv definit ist, dann heißt das, dass du einen beliebigen Vektor (nicht 0) einmal links dranschreibst und einmal rechts und dass das Ergebnis dieser Rechnung größer als Null ist.

Zum Beispiel ist die Einheitsmatrix positiv definit. Magst du das mal im IR² zeigen?

11.06.2011, 19:38

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh. Jetzt erst gesehen das du geantwortet hast.

Muß der Vektor gleich sein? Wie definiert man bei einer Matrix/Vektor, das sie größer als 0 ist. Summiert man alle Zellen miteinander?

So etwa?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.06.2011, 22:22

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Taladan
Muß der Vektor gleich sein?

Ja, er muss gleich sein.

Zitat:

Original von Taladan
Wie definiert man bei einer Matrix/Vektor, das sie größer als 0 ist. Summiert man alle Zellen miteinander?

Gar nicht, dein Beispiel ist falsch. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl. Wenn du links und rechts einen Vektor dranpackst, dann ist der linke ein Zeilenvektor (üblicherweise). Zuerst multiplizierst du die Matrix mit dem rechten Vektor, ganz normal, wie du es bestimmt kennst. Das Ergebnis ist ein Vektor. Dann: Zeilen- mal Spaltenvektor = reelle Zahl. Machst du's nochmal?

$\begin{eqnarray*} (1, 1) \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} = \dots \end{eqnarray*}$

12.06.2011, 13:04

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch gar nicht der gleiche Vektor, oder doch?

Warum zuerst mit dem echten Vektor. Ich hätte es jetzt so gemacht.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1*1 + 0*1+0*1+1*1=2 \end{eqnarray*}$

Mit deiner Formel hätte ich aber
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1*1 + 0*1+0*1+1*1=2 \end{eqnarray*}$

Aber bei Multiplikation ist es doch eigendlich gehupft wie gesprungen, in welcher Reihenfolge man es mach, auch bei Matrizen, oder?

Wenns so gemacht wird, ist das ja eigendlich ganz einfach. Warum erklärt man das dann nicht so... Hab voll das Brett vorm Kopf gehabt.

Aber jetzt mal eine andere Frage, was sagt mir denn, das eine Matrix posivtiv Definit ist (oder auch nicht). und was ist ein Eigenvektor?

12.06.2011, 13:44

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, das eine ist der transponierte Vektor. Die Einträge sind jedenfalls gleich.

Zitat:

Original von Taladan
Ich hätte es jetzt so gemacht.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1*1 + 0*1+0*1+1*1=2 \end{eqnarray*}$

Hmmm ... Was machst du da? Du kannst zuerst den Zeilenvektor mit der Matrix verrechnen, das Ergebnis ist aber ein Zeilenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und dann kommt das gleiche wie bei der zweiten Rechnung heraus:

Zitat:

Original von Taladan
Mit deiner Formel hätte ich aber
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1*1 + 0*1+0*1+1*1=2 \end{eqnarray*}$

Was sagt dir die Definitheit? Zunächst mal einfach nur, dass bei diesen Rechnungen etwas herauskommt, was positiv ist. In der Analysis nutzt man das zum Beispiel für Extremwertberechnungen, kennst du vielleicht.

Allerdings hast du jetzt nur gezeigt, dass bei dem Vektor (1 1) etwas echt positives herauskommt. Üblicherweise macht man das mit einem allgemeinen Vektor $\begin{eqnarray*} (x_1 \, x_2) \end{eqnarray*}$ . Es gibt auch eine Charakterisierung über Eigenwerte, wo wir jetzt hinkommen.

Und für den Eigenvektor gibt es doch eine Definition, was verstehst du an ihr nicht? Schreib sie zunächst mal auf.

12.06.2011, 15:39

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sei A eine (n x n)-Matrix über R. Eine Zahl l € R heißt Eigenwert von A, wenn es ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ \ {0} gibt mit Ax = lx. Jeder solche Vektor x = 0 heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert l .

Was ich verstehe. Es geht um die Matrix mit Beispielsweise 3*3 größe (bei 3*4 gibt es so was scheinbar nicht) im Reellen Vektorraum. x ist ein Vektor mit 3 Werten. Aber dann komme ich ins rotieren. Ax= lx ist klar. Die Matrix mal Vektor ergibt den selben Vektor wir ein Lambda mal den Vektor. Aber was soll das x=0? Wie bestimmt man denn Lambda und x?

13.06.2011, 14:03

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dort steht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn das nicht da stünde, wäre 0 immer ein Eigenvektor und zwar zu jeder Zahl. Denn A*0 = 0 = l*0. Deswegen schließt man diesen Fall aus.

Für die Berechnung schaust du am besten mal bei Wiki.

Neue Frage »

Antworten »

Positiv definit

Verwandte Themen