doppelter eigenwert - eigenvektor?

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Friday Auf diesen Beitrag antworten »
doppelter eigenwert - eigenvektor?
Hallo,

Gegegben ist mir eine 3x3 Matrix von der ich die Eigenwerte bestimmt habe.



und

ist ein doppelter Eigenwert, jetzt möchte ich die Eigenvektoren dazu berechnen.



LGS liefert mir ==>



laut Rechner müsste ich aber auf noch einen weiteren Vektor kommen und zwar , wie komme ich auf diesen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht dein Gleichungssystem denn aus?
Wenn du das richtige hast, sollte es aus zwei Nullzeilen und einer Nicht-Nullzeile bestehen.
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das LGS aus ?



==> dabei entstehen 2 nullzeilen, d.h. nun für mich?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Friday
==> dabei entstehen 2 nullzeilen, d.h. nun für mich?


Welche Dimension muss also der Lösungsraum haben, wenn Rang (A)=1 und dim(V)=3?
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

was ist mit dim(v) gemeint?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums.
 
 
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

2 müsste dann der lösungsraum sein?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht der Lösungsraum, sondern die Dimension des Lösungsraums.
Du brauchst also zwei linear unabhängige Lösungen, um daraus alle Lösungen zu erzeugen.

Die bekommst Du entweder durch "wildes" Probieren oder systematischer indem du zwei Variablen (z.B. x und y) mit den Werten (0,1) und (1,0) belegst.
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Lösungsraum hat die dimension 2, ist also eine ebene und wird von 2 lin unabhängigen vektoren aufgespannt

mit dem LGS oben, habe ich schon einen Vektoren von den beiden rausgekommen, aber ich kann dir noch nicht ganz folgen, wie ich jetzt auf den zweiten kommen kann
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Matrix steht doch für die Gleichung
-2x-2y-z=0

Setzt Du hier einmal x=0 und y=1, und ein weiteres mal x=1 und y=0 ein, dann bekommst Du in jedem Fall zwei verschiedene und darüberhinaus auch linear unabhängige Lösungen (Klar wieso?) heraus.
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, besten Dank, das hilft mir weiter:





Dazu komme ich auf 4 verschiedene Lösungsmöglichkeiten:

, ,,

Da ich den 3. und 4. Vektor mit 1. und 2. ausdrücken kann, sind das meine zwei lin. unabhängigen Vektoren die ich suche, richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz das, was ich Dir vorgeschlagen hatte, aber stimmt schon.
Wobei ich mich frage, wozu Du vier Lösungsvektoren ausgerechnet hast verwirrt
Friday Auf diesen Beitrag antworten »

habe sie nicht ausgerechnet nur draufgeschaut und gesehen, dass das die möglichkeiten sind, um die gleichung zu erfüllen, quasi als probe, dann noch überprüft ob sie lin unabhängig sind Augenzwinkern
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