Gruppenhomomorphismen gelöst

13.12.2006, 11:48	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen gelöst Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen f : (Z/nZ, +) --> (Z/mZ, +) für m,n Element {3,7,9}. Kann mir einer sagen wie ich das löse? Besten Dank im Vorraus, Grüße
13.12.2006, 16:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst muss ja für jeden Homomorphismus $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ gelten (warum?). Nun sei einfach $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein beliebiger Homomorphismus. Setze $\begin{eqnarray} a=f(1) \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ , was $\begin{eqnarray} f(3) \end{eqnarray}$ usw.? Gruß MSS
13.12.2006, 16:24	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich dir leider nicht sagen ... blicke da irgendwie nicht durch ...
13.12.2006, 16:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann erstmal ganz von vorn: Wie ist denn ein Homomorphismus definiert? Gruß MSS
13.12.2006, 16:34	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss gelten: f(x1 * x2) = f(x1) * f(x2) Also mit der der Abbildungsoperation verträglich sein.
13.12.2006, 16:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und was sind hier die beiden Operationen? Gruß MSS
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13.12.2006, 16:38	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
beides die Addition von Restklassen
13.12.2006, 17:00	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn $\begin{eqnarray} f(1)=a \end{eqnarray}$ gilt, was ist dann $\begin{eqnarray} f(2)=f(1+1) \end{eqnarray}$ ?
13.12.2006, 17:19	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
2a ?
13.12.2006, 17:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, und warum? Und wie kannst du dann für $\begin{eqnarray} 1\leq k< n \end{eqnarray}$ das Bild $\begin{eqnarray} f(k) \end{eqnarray}$ darstellen? Gruß MSS
13.12.2006, 17:59	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
weil durch Homom. $\begin{eqnarray} f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1) \end{eqnarray}$ für f(k) dann k*a ? nur inwiefern hilft mir das jetzt bei der aufgabe?
13.12.2006, 18:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, wobei natürlich $\begin{eqnarray} ka \end{eqnarray}$ für die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray} [ka] \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ steht. Du kannst jetzt folgendes sagen: Für jeden Homomorphismus $\begin{eqnarray} f:\mathbb Z/n\mathbb Z\to \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} 0\leq k<n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f([k])=[kf(1)] \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du in den 9 Fällen $\begin{eqnarray} m,n\in\{3,7,9\} \end{eqnarray}$ natürlich noch alle Homomorphismen aufschreiben, aber das wär vielleicht etwas arg viel Schreibarbeit. Gruß MSS
13.12.2006, 19:34	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
ah prima danke!

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