Matrix nilpotent

09.06.2011, 16:05

MaxGr

Matrix nilpotent

Meine Frage:
zeigen sie, dass die matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1& 1 \\ 2 & 1 & 1& -2 \\ -2 & -1 & -1& 2\\ -1 & -1 & -1& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nilpotent ist und dass ihre normalform B der Partition (2,2) von 4 entspricht.

Meine Ideen:
ich bin mir nicht genau sicher, wie ich das zeigen soll.
ich glaub ich muss die eigenwert und eigenvektoren bestimmen,dann den kern

ich hoffe mir kann jemand helfen

09.06.2011, 16:09

tigerbine

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RE: Matrix nilpotent
Was bedeutet denn nilpotent (Definition)? Wann genau ist eine Matrix nilpotent (Lemma)?

Damit ist der Erste Teil - man denke auch an Laplace - schnell beantwortet.

Bei "Partition" muss ich passen. Wink

09.06.2011, 16:18

MaxGr

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def.:eine matrix A heißt nilpotent,fall es ein n gibt mit $\begin{eqnarray*} A^{n}=0 <br /> \end{eqnarray*}$

ich kenn nur die definition

ich glaub, man muss noch den rang bestimmen?

09.06.2011, 16:20

tigerbine

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Nutze die Macht der Suchmaschinen... Idee!

09.06.2011, 16:26

MaxGr

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hm also kann ich auch einfach durch probieren
A^2 rechnen und wenn dort 0 rauskommt, dann ist A nilpotent?

09.06.2011, 16:28

MaxGr

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ich korriegiere mich
ich muss die eigenwert von A ausrechnen, und wenn der eigenwert nur 0 ist, ist diese matrix nilpotent

09.06.2011, 16:30

tigerbine

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So ist es. Also bitte, rechne die EW aus. Ich weise auch noch mal auf Laplace hin.

09.06.2011, 16:39

MaxGr

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mit dem laplace entwicklungssatz erhalte ich,wenn ich keine fehler gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda )\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & -2 \\ -1 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} +2\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1-\lambda & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1-\lambda & 1& -2 \\ -1 & -1-\lambda & 2 \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

09.06.2011, 16:41

tigerbine

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Das kann nicht sein, es kommt ein Polynom raus, nicht das Nullpolynom. $\begin{eqnarray*} p(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ mal als Probe.

09.06.2011, 16:42

MarkGr

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vllt hab ich ein vorzeichenfehler?

09.06.2011, 16:44

tigerbine

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Zeit zum Nachrechnen habe ich nicht. Das musst du selbst erledigen. Augenzwinkern