Differentialrechnung |
| 09.06.2011, 17:28 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differentialrechnung Die Theorie will mir einfach nicht einleuchten. Ich brauche bei folgender Aufgabe Eure Hilfe. Ein Sattelpunkt auf einer Kurve wird bestimmt und bewiesen durch die Ansätze: _____________________________________________________________________ Wenn der Sattelpunkt mit einem Links-rechts-Übergang verbunden ist, hat die 1. Ableitung ein ________________________________________________. Wo liegt dieser Punkt auf der Kurve f'? Begründe Deine Aussage. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Meine Ideen: Zum ersten Teil würde ich sagen und bewiesen durch ; Aber wie erkläre ich den Rest? |
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| 09.06.2011, 17:45 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differentialrechnung Der zweite Punkt müsste ein Maximum sein, oder? |
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| 09.06.2011, 19:33 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differentialrechnung Kann mir keiner helfen?????? 
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| 10.06.2011, 08:29 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differentialrechnung Kann mir wirklich keiner helfen???????
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| 10.06.2011, 09:35 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nana, nur nicht weinen! 
Ich mußte mich jetzt selber erst einmal schlau machen, da mir der Begriff "Sattelpunkt" nicht geläufig war. (...oder ich hab's vergessen 
) Aha, ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Und einen "Links-rechts-Übergang" kenne ich als Übergang von konvex zu konkav. Nachdem nun alle Unklarheiten beseitigt sind, kann ich sagen:Dann sind deine Vermutungen richtig. 
Da, wie du schon richtig gesagt hast, im Sattelpunkt die 1. Ableitung ein Maximum hat und zugleich Null ist, liegt dieser Punkt des Graphen der 1. Ableitung auf ... ? |
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| 10.06.2011, 09:48 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKE!!! - ich dachte schon, ihr lasst mich im Stich. 
Ich bin mir nicht sicher - ich dachte, möglicherweise auf der x-Achse. Doch in meinem Buch ist zum Thema Sattelpunkt ein etwas verwirrendes Beispiel erläutert, bei dem dann auch noch steht: "Im Beispiel liegt der Sattelpunkt auf der x-Achse ...", was irgendwie so klingt, als ob das nicht immer so ist. Dann ist es ja auch so, dass der Anstieg im Sattelpunkt 0 ist, was (für mich jedenfalls) auch kein Argument dafür ist, dass er auf der x-Achse liegt, sondern nur dafür, dass die Tangente waagerecht verläuft. Ja, da liegt wohl mein Problem - ich kann es nicht erklären. 
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| 10.06.2011, 10:10 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So würde ich das auch sehen: Der bewußte Punkt der 1. Ableitung liegt auf der x-Achse. Das mag ja sein, daß in deinem Beispiel der Sattelpunkt (der Ausgangsfunktion f(x) ) auf der x-Achse liegt. Das muß natürlich nicht sein. Beispielsweise wäre die Funktion f(x) = - x³ eine mit "Links-rechts-Übergang" und Sattelpunkt bei (0;0), also auf der x-Achse. Bei f(x) = - x³ + 5 liegt der Sattelpunkt bei (0;5), also nicht auf der x-Achse, aber alle anderen Aussagen bezüglich der Ableitungen bleiben genauso gültig. das "+ 5" verschwindet ja schon bei der 1. Ableitung. Nicht daß du da etwas verwechselst (oder ich?) - Bei deiner dritten Aufgabe ist doch gefragt, wo der Punkt auf der Kurve von f' (also der Kurve der 1. Ableitung) liegt. Es geht also nicht darum, wo der Sattelpunkt selbst liegt! Am Sattelpunkt hat die 1. Ableitung bei einem Links-rechts-Übergang von f(x) ein Maximum und ist zugleich Null - der Punkt liegt also auf der x-Achse! |
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| 10.06.2011, 12:08 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, musste schnell mit einkaufen gehen- heute abend ist Grill-Party mit meinen Eltern und unseren Nachbarn angesagt.
Das heißt, es ging nicht um den Sattelpunkt, sondern um den Übergangspunkt?
Dann verstehe ich das aber nicht so recht.
Tut mir leid. |
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| 10.06.2011, 13:10 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss für heute aufhören ... Bin morgen wieder da. |
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| 10.06.2011, 13:19 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hhmm, irgendwo fehlt dir noch das Aha-Erlebnis, dabei hast du doch alles richtig beantwortet! Also noch einmal Schritt für Schritt, und wenn du etwas nicht nachvollziehen kannst, sagst du, wo! 
1) Die gegebene Funktion hat einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit horizontaler Tangente), an dem der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht. 2) Du hast richtig erkannt: 1. Ableitung = 0 (wegen horizontaler Tangente, Anstieg Null), 2. Ableitung = 0 und 3. Ableitung ungleich Null (Bedingungen für Wendepunkt). Dies zur Lösung der ersten Teilaufgabe. 3) Der Graph der Ausgangsfunktion f(x) ist anfangs nach links gekrümmt, der Anstieg der Tangente (= Wert der 1. Ableitung) ist negativ. Zum Wendepunkt hin wird die Tangente immer flacher, der Wert der 1. Ableitung also weniger negativ = positiver = größer. 4) Am Sattelpunkt ist die Tangente waagerecht (das ist ja gerade das Wesentliche an einem Sattelpunkt gegenüber einem "gewöhnlichen" Wendepunkt). Der Anstieg der Tangente und damit die erste Ableitung ist Null. 5) Ab jetzt krümmt sich der Graph der Funktion wieder nach rechts. Die Tangente wird wieder eine fallende Gerade, ihr Anstieg und damit der Wert der 1. Ableitung wird immer negativer. 6) Aus 3) bis 5) siehst du, daß die erste Ableitung zunächst negativ ist, dann steigt bis zum Sattelpunkt von f(x). Dort ist sie Null und wird wieder negativ (kleiner). Am Sattelpunkt hat die 1. Ableitung also ein Maximum. Das ist die Antwort auf die 2. Teilaufgabe. 7) In 4) und auch 6) hatten wir festgestellt, daß dort, wo f(x) den Sattelpunkt hat und die Tangente waagerecht ist, die erste Ableitung Null ist. Der Graph der 1. Ableitung hat also dort einen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. (Siehe Bild: Die rote Kurve ist f(x), grün ist die erste Ableitung. In meinem Beispiel [im Bild schlecht zu lesen] ist f(x) = -x³-3x²-3x+2 und f'(x) = -3x²-6x-3) |
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| 10.06.2011, 17:46 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dennoch is bei wendepunkt |
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| 11.06.2011, 11:28 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schreibe mal, was ich verstanden habe (und hoffe, dass es stimmt). Die erste Ableitung (grün) ist ein Graph, der den Anstieg des Graphen der "Ursprungs"-Funktion (rot) beschreibt. Da ein Sattelpunkt (unter anderem) über f'(x)=0 definiert ist und damit an dieser Stelle einen Anstieg von 0 hat, muss dieser also in der 1. Ableitung auf der x-Achse liegen. |
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| 11.06.2011, 12:49 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rüschtüsch!
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| 11.06.2011, 13:13 | thesungoesdown | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super!!! Danke!!! Ich bin echt glücklich darüber, dass ich das jetzt geschnallt habe. Danke für die ausführliche Erklärung - die im Übrigen sehr viel besser war, als die meines Lehrers. Nur um ganz sicher zu gehen ... die weiteren Ableitungen sind dann immer wieder die Beschreibung des Anstieges der vorherigen? |
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