Ähnlichkeit von zwei Matrizen überprüfen |
| 09.06.2011, 18:43 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ähnlichkeit von zwei Matrizen überprüfen Hallo Leute! Ich sitze seit Stunden über einer Aufgabe und habe zwar (wahrscheinlich) eine Lösung, aber bin mir nicht sicher, ob ich das überhaupt so machen kann. Meine Ideen: Ich soll überprüfen, ob die Matrizen A und B ähnlich sind. Dafür müsste ich ja S und S^(-1) bestimmen, aber ich habe keine Ahnung, wie das geht, also habe ich die Formel selbst umgeformt: Dann habe ich die Matrizen A und B eingesetzt und für S (mit Variablen für jedes Element) ausgerechnet (für jede Seite einzeln). Danach habe die Elemente in den entstandenen Matrizen verglichen, um so auf S zu kommen. Das Problem ist nur, dass ich darin eine Nullspalte habe. Damit wäre S ja aber nicht invertierbar und ich kann kein S^(-1) ausrechnen. Meine Schlussfolgerung ist jetzt, dass die beiden Matrizen A und B nicht ähnlich sind. Ist diese Schlussfolgerung richtig? Ich hoffe sehr, dass mir jemand helfen kann und bedanke mich schon mal im voraus. Paradiesvogel |
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| 09.06.2011, 19:00 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Matrix rechnest du aus in dem du die Eigenvektoren zu den Eigenwerten von bestimmst. Wie sehen denn die Matrizen A, B aus ? Gruß |
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| 09.06.2011, 19:08 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke! Hallo LoBi! A= 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 B= 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 Die Eigenvektoren zu A sind: (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, -1, 0, 1) (1, 0, 0, 0) Was genau ist dann denn S? Sind diese Vektoren die Zeilen-oder die Spaltenvektoren und ist die Reiehnfolge wichtig? Kann ich damit davon ausgehen, dass meine Schlussfolgerung oben nicht stimmt? Vielen Dank für deine Hilfe. |
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| 09.06.2011, 19:36 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht immer richtig, wie man an nicht diagonalisierbaren aber trotzdem ähnlichen Matrizen/Endomorphismen sehen kann. Wenn man zwei gegebene Matrizen auf Ähnlichkeit prüfen soll, ist es zunächst mal überhaupt nicht sinnvoll oder ratsam, dieses zu suchen. Man sollte stattdessen zunächst die einfachen Invarianten der Konjugation untersuchen: Spur, Rang, Determinante, charakteristisches und Minimalpolynom (letzteres führt hier schon zum Erfolg). Ansonsten bieten sich noch die Dimensionen der Eigen- und Haupträume an. |
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| 09.06.2011, 19:47 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Minimalpolynom? Hallo! Ähm... ok. Ich habe nämlich schon mal versucht, das auszurechnen und irgendwie komme ich nicht drauf. Die Matrizen sehen ja aber so schon sehr "ähnlich" aus. Die Determinante ist offensichtlich gleich und damit ja auch das charakteristische Polynom. Was ist denn ein Minimalpolynom? Das darf ich dann ja aber leider noch nicht verwenden... Gibt es noch eine Möglichkeit, die Ählichkeit von Matrizen zu zeigen? Wir haben das nur mit A=SBS^(-1) eingeführt. |
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| 09.06.2011, 19:51 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber weißt du denn, dass bei ähnlichen Matrizen die Eigenwerte (das ist hier offensichtlich gegeben) und auch die Dimensionen der Eigenräume übereinstimmen müssen? Falls ja, bestimme mal die Eigenräume zum Eigenwert 1. |
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| 09.06.2011, 20:06 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| nein? Nein, das weiß ich leider nicht. OK, es ist irgendwie sinnvoll, aber wir haben es nie bewiesen und damit darf ich es leider nicht verwenden. Wir haben zu ähnlich wirklich nur aufgeschrieben: "Zwei Matrizen sind ähnlich, wenn gilt: A=SBS^(-1)". Mehr steht da nicht. Deswegen hatte ich ja zu Anfang diesen kreativen Ansatz den Spaß einfach auszurechnen und dann zu zeigen, dass S nicht exisitert? Stimmt das eigentlich? Kann ich das so machen? |
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| 09.06.2011, 20:11 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber vielleicht habt ihr schon den Begriff der Diagonalisierbarkeit kennegelernt? Dann untersuche mal und auf Diagonalisierbarkeit. Ansonsten kannst du auch ein LGS für die Parameter von aufstellen, das hat dann jedoch 16 Unbekannte und ist somit nicht ganz handlich zu lösen. |
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| 09.06.2011, 20:16 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| schon geschehen Letzteres habe ich schon getan. Das meinte ich doch die ganze Zeit. Das Problem ist, dass dieses S eine Nullspalte hat und damit nicht invertierbar ist. Kann ich daraus schon schlussfolgern, dass die beiden Matrizen nicht ähnlich sind? |
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| 09.06.2011, 20:21 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ja, das geht hier ja doch relativ schnell. Natürlich ist das auch eine richtige Lösung der Aufgabe und die zwei Matrizen sind somit nicht ähnlich. 
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| 09.06.2011, 20:27 | Paradiesvogel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ah!! Hey super, dann bin ich ja doch schon fertig und muss keine drei Seiten rechnen. Vielen, vielen, vielen Dank!! ganz liebe Grüße Paradiesvogel |
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