Schnittpunkt von Geraden im dreidimensionalem Raum

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robin. Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt von Geraden im dreidimensionalem Raum
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe aufbekommen:
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S.
a) g: x = (5/0/1) + t(2/1/-1)
h: x = (7/1/2) + t(-6/-3/3)

Ich dachte mir jetzt dass ich ja die beiden Geraden in ihre Gleichungssysteme splitten kann:
g: x1= 2t + 5
x2= t
x3= -t + 1

h: x1= -6t + 7
x2= -3t + 1
x3= 3t + 2

jetzt dachte ich mir, dass man ja eigentlich x1 von g mit x1 von h gleichsetzen könnte. Mit den anderen Koordinaten ebenfalls. Dann bekomme ich raus:

x1: 2 t + 5 = - 6 t + 7 <=> t = 1/4
x2: t = - 3 t + 1 <=> t = 1/4
x3: -t + 1 = 3 t + 2 <=> t = - 1/4

Ich habe ja jetzt raus, dass der Streckungsfaktor immer t = 1/4 beträgt, außer bei x3, da ist es negativ und geht demnach in die andere Richtung.
kann ich damit irgendetwas anfangen oder muss ich 'nen anderen Weg einschlagen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Liebe Grüße,
robin.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Geraden im dreidimensionalem Raum
also ich würde für die 1. gerade g: schreiben und für h: , weil ja in der regel gilt.

wenn du die gegenseitige lage von 2 geraden untersuchen muss, würde ich zuallererst schauen, ob die richtungsvektoren linear (un)abhängig sind. danach würd ich die geraden gleich setzen. hoffe das hilft dir =)
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deine Idee ist richtig.
Jetzt musst du das Ergebnis nur noch interpretieren.

Kann es einen Schnittpunkt geben, wenn die t's verschieden sind?


edit: Da war wohl jmd. schneller smile Und wenn man sich die Richtungsvektoren genau anschaut, dann sieht man eh schon, was los ist smile
robin. Auf diesen Beitrag antworten »

@ fleurita: Mit deinem Lösungsweg kann ich irgendwie nicht wirklich was anfangen.. unglücklich

@Stephan03: Wahrscheinlich müssen alle t gleich sein, damit sich die Geraden schneiden, was? Wie komme ich dann an die Koordinaten
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, es müssten alle t gleich sein.

Wie du auf dem Schnittpunkt kommst?
Du hast ja dann ein eindeutiges t und was kannst mit diesem machen?

Aber da du ja die Lage der Gerade bestimmen sollst, musst du dir auch die Richtungsvektoren der Geraden betrachten.

Ist einer vllt. ein VIelfaches vom anderen? Wenn ja, was bedeutet das?
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

überleg dir einfach was passiert, wenn die richtungsvektoren linear unabhängig sind und was, wenn sie linear abhängig sind

annahme: die richtungsvektoren sind linear abhängig, was sagt dies über die lage von g und h schon aus? welche von den 4 kriterien (gleich, parallel, schneiden in genau einem punkt, windschief) fallen dann schon mal raus?

umgekehrt: die richtungsvektoren sind linear unabhängig, welche von den kriterien können dann schon nicht mehr gelten? =)
 
 
robin. Auf diesen Beitrag antworten »

@Stephan03:
Doofe Frage, aber wieso muss t gleich sein, damit sich die Geraden schneiden?
t ist noch mein Streckungsfaktor. ich strecke t-mal meine Richtung um vom Stützvektor zum unbekannten Endpunkt zu kommen. Aber was ist, wenn ich unterschiedliche Stützvektoren habe? Dann brauche ich doch auch unterschiedlich oft meinen Streckunsfaktor um zum Schnittpunkt zu gelangen oder? Ich glaube, dass ich grade voll auf dem Schlauch stehe.

@fleurita:
Also mache ich aus den beiden eine lineare Abhängigkeit oder was?

Ich kriege es grade ehrlich gesagt nicht hin, aus meiner parameterform eine Linearkombination zu bilden. O.o haben wir noch nie gemacht..
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

das ist doch ganz einfach =) nachgucken ob sich der eine richtungsvektor als vielfaches vom anderen darstellen lässt

und wenn s=t=0 rauskommt, sind sie linar unabhängig

machs am besten so:



gibt es ein x, so dass der eine vektor gleich dem anderen ist?
robin. Auf diesen Beitrag antworten »

bevor ich jetzt drei gleichungen erstelle , würde ich erst gerne noch wissen, wieso in eine linearkombination nicht der stützvektor einbezogen wird!? Ist der irrelevant?

(Vielen dank schonmal! :*)

Edit
Und: Wieso macht man das überhaupt mit der Abhängigkeit? Tut mir leid wenn ich nerve xD
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

kein prob =)


wenn 2 vektoren linear abhängig sind, dann sind sie etwa gleich, oder einer ist ein vielfaches vom anderen, auf jeden fall zeigen sie in die gleiche oder entgegen gesetzte richtung, das heißt man kann den einen durch multiplikation mit einer zahl zum anderen machen, wenn dies nicht geht, sind sie linear unabhängig.

der stützvektor ist für (un)abhängigkeit völlig egal =)


was ist denn wenn du zb. -1/3 für x einsetzt bei der gleichung:
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von robin.
@Stephan03:
Doofe Frage, aber wieso muss t gleich sein, damit sich die Geraden schneiden?
t ist noch mein Streckungsfaktor. ich strecke t-mal meine Richtung um vom Stützvektor zum unbekannten Endpunkt zu kommen. Aber was ist, wenn ich unterschiedliche Stützvektoren habe? Dann brauche ich doch auch unterschiedlich oft meinen Streckunsfaktor um zum Schnittpunkt zu gelangen oder? Ich glaube, dass ich grade voll auf dem Schlauch stehe.



Hi,

also ok, war nicht ganz verständlich ausgedrückt von mir bzw. auch etwas falsch.
Also 1. darfst du, wie fleurita schon gesagt hast, nicht beidemale t verwenden, sondern du musst bei den Richtungsvektoren der Gerden einmal t und einmal s verweden.

Dann stellst du die drei Gleichungen auf, hast aber nur die 2 Unbekannten t und s. Also kannst du t und s eindeutig bestimmen. Dann setzt du die erhaltenen Werte in die 3. Gleichung ein und schaust, ob eine wahre Aussage herauskommt. Wenn ja, dann schneiden sich die Geraden, wenn nicht, dann nicht.

OK?
robin. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfen smile
Hab mich mal nach euren Erklärungen dran versucht. Ist das so okey?
robin. Auf diesen Beitrag antworten »

amigos, noch da? xD


habe noch eine frage. Wenn ich die geraden iregndwann gleichsetze, um die schnittpunkte zu errechnen (falls die Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind, und somit die Geraden windschief sein müssen, oder sich in einem Punkt schneiden).. erhalte ich irgendwann ein Ergebnis für s (Streckungsfaktor der Gerade 1) und ein Ergebnis für t (Streckungsfaktor der Gerade 2). Was sagen mir die Ergebnisse über meinen Schnittpunkt aus?
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