Eigenvektoren orthogonal, Orthogonales Komplement

10.06.2011, 12:43

eierkopf1

Eigenvektoren orthogonal, Orthogonales Komplement

Hallo!

Eigenvektoren sind im Allgemeinen nicht orthogonal zueinander.

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedenen Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \dots, \lambda_n \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} u_1, \dots, u_n \end{eqnarray*}$ die zugehörigen Eigenvektoren.
Diese Eigenvektoren sind natürlich linear unabhängig und bilden eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ .

Allgemein gilt für Untervektorräume $\begin{eqnarray*} W \subseteq \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ mit dem orthogonalen Komplement $\begin{eqnarray*} W^\perp = \{ v \in \mathbb C^n | \forall u \in W: (u,v) = 0 \} \end{eqnarray*}$ die Zerlegung:
$\begin{eqnarray*} \mathbb C^n = W \oplus W^\perp \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} W = \mathrm{span}\{u_1\} \end{eqnarray*}$ , dann bildet $\begin{eqnarray*} \{u_1 \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und wegen der direkten Summe ist $\begin{eqnarray*} \{ u_2, \dots, u_n \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W^\perp \end{eqnarray*}$ .

Daraus würde doch folgen, dass der EV $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ orthogonal auf die restlichen Eigenvektoren steht. Da ich das für jeden EV machen kann, folgt daraus, dass alle EV orthogonal zueinander sind. Aber das ist falsch. Wo liegt mein Fehler?

10.06.2011, 23:04

Reksilat

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RE: Eigenvektoren orthogonal, Orthogonales Komplement
Hi eierkopf,

Zitat:

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} W = \mathrm{span}\{u_1\} \end{eqnarray*}$ , dann bildet $\begin{eqnarray*} \{u_1 \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und wegen der direkten Summe ist $\begin{eqnarray*} \{ u_2, \dots, u_n \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W^\perp \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht.
Es existiert zwar ein orthogonales Komplement $\begin{eqnarray*} W^\perp \end{eqnarray*}$ , aber das muss nicht von $\begin{eqnarray*} u_2,...,u_n \end{eqnarray*}$ aufgespannt werden. Schließlich gibt es zu Unterräumen im allgemeinen mehrere Komplemente, weshalb $\begin{eqnarray*} \langle u_2,..,u_n\rangle\neq W^\perp \end{eqnarray*}$ gelten kann.

Gruß,
Reksilat.

11.06.2011, 11:38

eierkopf1

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RE: Eigenvektoren orthogonal, Orthogonales Komplement
Vielen Dank für die Antwort!

Ich habe die (direkte) Summe falsch verstanden.

Am einfachsten stellt man sich das im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ vor.
Ein eindimensionaler Eigenraum ist eine Gerade mit dem EV $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ als Richtungsvektor durch den Ursprung.
Das orthogonale Komplement davon ist dann eine Ebene durch den Ursprung, die orthogonal zu der Gerade ist. Die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b \end{eqnarray*}$ dieser Ebene stehen normal auf den ersten EV $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ .

Jeder Punkt im Raum kann aber als direkte Summe von diesen drei Vektoren geschrieben werden (Braucht man sich nur bildlich vorstellen).

Die beiden anderen Eigenräume von den beiden anderen EV sind wieder Geraden durch den Ursprung.

Diese müssen aber jetzt nicht in der obigen Ebene liegen.

MfG

11.06.2011, 13:52

Reksilat

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RE: Eigenvektoren orthogonal, Orthogonales Komplement
Richtig. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ kann man sich vieles gut veranschaulichen. So ist dort für eine Ursprungsgerade g (also einen eindimensionalen UR) jede Ebene durch den Ursprung die g nicht enthält ein Komplement. Aber nur die Ebene, die senkrecht zu g ist, ist das orthogonale Komplement.

Wink

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