Ist der Schwerpunkt das Minimum der Summe der Abstände zu den Ecken im Tetraeder?

10.06.2011, 13:10	bbbbecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist der Schwerpunkt das Minimum der Summe der Abstände zu den Ecken im Tetraeder? Man kann die Frage in Prosa formulieren: Stimmt es, dass vom Schwerpunkt (Baryzentrum) eines Tetraeders die Summe der Abstände zu den Eckpunkten das Tetraeders minimal sind? Gibt es eine Quelle für dieses Ergebnis? $\begin{eqnarray} \mbox{Etwas formaler sieht die Frage dann so aus: Sei }S\mbox{ der Schwerpunkt eines Tetraeders mit den Ecken }A, B, C\mbox{ und }D. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Ferner seien }X, Y\mbox{ und }Z\mbox{ drei Punkte des }R^3\mbox{ und sei } \|\|YZ\|\|:=\sqrt{(y_1-z_1)^2+(y_2-z_2)^2+(y_3-z_3)^2}\mbox{ der Abstand} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{zwischen }Y\mbox{ und }Z.\mbox{ Schlie\ss lich sei die Funktion }f:R^3\to R\mbox{ definiert durch }X\to\|\|XA\|\|+\|\|XB\|\|+\|\|XC\|\|+\|\|XD\|\|. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Gilt dann: }S= \min f(X),\quad \forall X\in R^3\quad\mbox{?} \end{eqnarray}$ Vielen Dank im Voraus BBBB
10.06.2011, 15:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich mir kaum vorstellen, widerspricht irgendwie den Analogievorstellungen, die vom ebenen Dreieck herrühren: Schwerpunkt vs. Fermatpunkt. Kann es sein, dass du nicht die Summe der Abstände, sondern die Summe der Quadrate der Abstände meinst? Dann kommt das mit dem Schwerpunkt hin.
13.06.2011, 03:36	bbbbecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Fermat-Punkt im Tetraeder Hi Forum, hi Hal 9000, danke erst mal für die rasche und geistreiche Antwort. Es was schon ganz erhellend all die Zentren eines Dreiecks mal bei wikipedia anzuschauen. Bisher kannte ich nur den Schwerpunkt. Aber da gibt es ja sehr viele. Noch spannender fand ich natürlich die Konstruktion des Fermat-Punktes eines Dreiecks mit Hilfe der gleichschenkligen Dreiecke an den einzelnen Seiten. Also vielen Dank schon mal dafür. Das hat mir wirklich weitergeholfen. Zum Thema Fermat-Punkt eines Tetraeders habe ich z.B. bei wikipedia.org leider nichts gefunden; auch nicht auf der englischsprachigen Seite. Auch sonst habe ich im Internet nicht wirklich eine gelungene Konstruktion des Fermat-Punktes für Tetraeder gefunden; geschweige ganz ein nachvollziehbarer Beweis seiner Optimalitäts-Eigenschaft. Das Beste war eine Konstruktion des Fermat-Punktes für den Spezialfall eines Tetraedes, dessen Seiten aus kongruenten Dreiecken besteht. Kennst du, oder kennt vielleicht auch jemand anders, ein gutes Buch zum Thema Fermat-Punkt im Tetraeder, oder habe ich die richtige Seite im Internet übersehen? Gruß und Dank im Voraus bbbb ) www.fcfung2000.com

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