Extremwertprobleme

13.12.2006, 15:03

Musti

Extremwertprobleme

Fragestellung:

a) Zerlegen sie die Zahl $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ so in zwei Summanden, dass ihr Produkt möglichst groß (die Summe ihrer Quadrate möglichst klein) wird.

b) Welche beiden reelen Zahlen mit der Differenz $\begin{eqnarray*} 1 (2;d) \end{eqnarray*}$ haben das kleinste Produkt?

c) Wie klein kann die Summe aus einer positiven zahl und ihrem Kehrwert werden?

Um ehrlich zu sein es hapert bei mir schon bei der a.

Ich bezeichne die Zahl $\begin{eqnarray*} 12=z \end{eqnarray*}$

Ich muss die Zahl in zwei Summanden zerlegen dessen Produkt möglichst groß (und die Summe ihrer Quadrate möglichst klein) wird.

$\begin{eqnarray*} x*y=Max \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=Min \end{eqnarray*}$

Ist das bie hierhin richtig?

Wenn ja wie geht es weiter wenn nein was habe ich falsch gemacht?

13.12.2006, 15:54

Dual Space

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RE: Extremwertprobleme

Zitat:

Original von Musti
a) Zerlegen sie die Zahl $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ so in zwei Summanden, dass ihr Produkt möglichst groß (die Summe ihrer Quadrate möglichst klein) wird.

Ich denke das grün markierte ist eine andere Aufgabe.

Ohne das grüne musst du also folgendes Problem lösen:

$\begin{eqnarray*} \max\{xy:x+y=12\} \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 15:59

Musti

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RE: Extremwertprobleme
$\begin{eqnarray*} y=12-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(12-x)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x^2+12x=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2x+12=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=12--6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=18 \end{eqnarray*}$

richtig so?

13.12.2006, 16:34

brunsi

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RE: Extremwertprobleme
du hast einen vorzeichenfehler bei deinem x wert und dadurch danna uch einen zu hohen wert für y. aber sonst siehts ganz korrekt aus und nun den zweiten teil davon

13.12.2006, 16:38

Musti

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RE: Extremwertprobleme
Jo habs gesehen danke.

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y=12 ---> y=12-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+(12-x)^2=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2-24x+144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x-24=0 ---> x=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=6 \end{eqnarray*}$

Richtig?

Bei b) weiß ich garnicht was ich machen muss ein Tipp wäre hilfreich.

13.12.2006, 16:44

ich bin smile

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Zitat:

Richtig?

jup!

13.12.2006, 17:05

Musti

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Kann mir jemand sagen wie ich bei der b) anfangen muss um das Ergebnis zu erhalten?

13.12.2006, 17:19

brunsi

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du hast wieder zwei reele zaheln x und y.

bei diesen hast du wieder zwei bedingungen.

die hauptbedingung ist, dass diese beiden zaheln das kleinste produkt haben sollen.

13.12.2006, 17:21

El_Snyder

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ich denke auch da gehören die werte in der klammer (also 2 und d) auch zu einer "anderen" aufgabe.

bei der differenz 1 kannst du denke ich so vorgehen:

x - y = 1 --> y = x - 1

und x*y soll minimiert werden

13.12.2006, 17:23

Musti

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Dann finde ich die Aufgaben im Buch aber ziemlich sch... gestellt.

Was muss ich denn bei der c dann machen?

13.12.2006, 17:26

brunsi

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was ist denn für dich der kehrwert einer positiven zahl??

eine positive zahl z.B. 2 hat welche zahl als kehrwert?? weißt du denn was ein kehrwert ist??

13.12.2006, 17:29

ich bin smile

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Also bei c müßte man dann doch das Minimum von f(x) suchen? verwirrt