Integration durch Reihenentwicklung.

10.06.2011, 20:41

pbk01

Integration durch Reihenentwicklung.

Hallo

Ich hab folgendes Problem:
Berechnen sie durch Potenzreihenentwicklung des Integranden näherungsweise das folgende Integral (bis auf 4 Dezimalen genau)
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! xe^{-x^3} \, dx \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet: 0,3498

Dazu muss ich eine Taylorreihe entwickeln und dann gliedweise Integrieren. Soweit so klar.
Ich brauche zuerst ein x0 was im Integrationsbereich ist. Ich wähle
$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

Damit bilde ich erstmal pauschal 3 Ableitungen der Funktion ( ich bin mir nicht sicher wie viel ich für eine Genauigkeit von 4 Dezimalen brauche...)

$\begin{eqnarray*} f(1)= x*e^{-x^3} =1/ e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(1)= (1-3x^2)e^{-x³} = -2/e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1) = (9x^4-3x^2-6x)e^{-x³} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(1) = (-27x^6+9x^4+54x^3-6x-6)e^{-x³} =24/e \end{eqnarray*}$

die Taylorpolynome lauten also:
$\begin{eqnarray*} T_1(x,1) = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2(x,1) = -\frac{1}{e}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_3(x,1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_4(x,1) = \frac{1}{e}(x-1)^4 \end{eqnarray*}$

Somit muss ich also nur jedes Taylorpolynome integrieren und die Ergbenisse addieren und komme dann auf meinen Nährwert. Ist das soweit richtig?
(Ich hab viel zu lange gebraucht um die Funktionen aufzustellen, da ich immer Schreibfehler drin hatte und die Funktionen daher höchst merkwürdig wurden... Von daher will ich einfach nur wissen, ob meine Ableitungen und Taylorpolynome korrekt sind und ob ich den Ausdruck Komponentenweise integrieren richtig verstanden hab. (also einfach jedes Polynom integrieren und die Ergebnisse addieren und fertig.)
Vielen Dank für eure Hilfe Freude

10.06.2011, 22:50

pbk01

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mir würde schon ein kommentar reichen, der mir bestätigt, dass ich das Verfahren richtig verstanden hab... unglücklich

11.06.2011, 03:16

pbk01

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irgendjemand? hallo? traurig

11.06.2011, 07:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von pbk01
Dazu muss ich eine Taylorreihe entwickeln und dann gliedweise Integrieren. Soweit so klar.
Ich brauche zuerst ein x0 was im Integrationsbereich ist. Ich wähle
$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

Kannst du natürlich alles so machen, an sich ist die Wahl des $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Es spart allerdings Nerven, sowie Schreib- und Rechenaufwand, wenn du die übliche Wahl $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ treffen würdest.

Außerdem muss man sich zur Gewinnung der Potenzreihenentwicklung nicht wortwörtlich durch den Taylor quälen: Nimm doch die bekannte Entwicklung

$\begin{eqnarray*} e^t = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} t^k \end{eqnarray*}$ ,

angewandt auf $\begin{eqnarray*} t=-x^3 \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} e^{-x^3} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{3k} \end{eqnarray*}$ ,

die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhöht dann nur noch jeweils den Potenzgrad um Eins

$\begin{eqnarray*} xe^{-x^3} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{3k+1} \end{eqnarray*}$ ,

was sich dann einfach integrieren lässt.

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