Existenz Fixpunkt beweisen

11.06.2011, 14:55

Mandelbrötchen

Existenz Fixpunkt beweisen

Hallo zusammen,

habe für diese Woche folgende Aufgabenstellung bekommen:
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} F:C^0([0,1]) \longrightarrow C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} F(\varphi)(x)=\int_{0}^{1} cos(x\varphi(t))dt \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \in C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ einen Fixpunkt besitzt.
$\begin{eqnarray*} C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ sei mit der Supremumsnorm versehen.

Meine Idee:
Hatten als Hinweis, dass wir zeigen sollen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} |cos \alpha - cos \beta| \le sin(1) \cdot |\alpha-\beta| \; \forall \alpha,\beta \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja auch weiter kein Problem, es hakt nur an der Tatsache, dass ich für die finale Abschätzung ja folgendes wissen muss: $\begin{eqnarray*} |x \varphi(t)| \le 1 \end{eqnarray*}$ , denn nur dann kann ich das ganze abschätzen um zu zeigen, dass F eine Kontraktion ist und damit einen Fixpunkt besitzt.

Jetzt meine Frage: (Wie) Kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x \varphi(t)| \le 1 \end{eqnarray*}$ gilt?
Kann mir das nämlich schwer vorstellen, da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ja eine beliebige stetige Funktion ist.

11.06.2011, 17:11

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Jetzt meine Frage: (Wie) Kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x \varphi(t)| \le 1 \end{eqnarray*}$ gilt?
Kann mir das nämlich schwer vorstellen, da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ja eine beliebige stetige Funktion ist.

Da hast du recht. Allerdings gilt $\begin{eqnarray*} F(C^0[0,1]) \subset C^0\left([0,1],[-1,1]\right) \end{eqnarray*}$
Das sollte doch - kombiniert zusammen mit der Abschätzung - bereits reichen, oder?

Gruss Wink

11.06.2011, 18:46

Mandelbrötchen

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Zitat:

Allerdings gilt $\begin{eqnarray*} F(C^0[0,1]) \subset C^0\left([0,1],[-1,1]\right) \end{eqnarray*}$ Das sollte doch - kombiniert zusammen mit der Abschätzung - bereits reichen, oder?

Meinst du ich soll so abschätzen:
$\begin{eqnarray*} \left|cos(F(\varphi)(x))-cos(F(\psi)(x))\right| \le sin(1) \left|F(\varphi)(x)-F(\psi)(x)\right| \end{eqnarray*}$ ?

Aber ich muss doch am Ende auf folgendes Ergebnis kommen:
$\begin{eqnarray*} \|F(\varphi)-F(\psi)\| \le \lambda \|\varphi-\psi\| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda<1 \end{eqnarray*}$ .

Wie schaff ich das denn dann?

Hab ja dann auch $\begin{eqnarray*} cos\left(\int_{0}^{1} cos(x\varphi(t))dt\right)-cos\left(\int_{0}^{1} cos(x\psi(t))dt\right) \le sin(1) \left|\int_{0}^{1} cos(x\varphi(t))dt-\int_{0}^{1} cos(x\psi(t))dt\right| \end{eqnarray*}$ dastehen, was ja nicht wirklich schön ist.

Also entweder ich versteh dich nicht, oder ich seh einfach nur nicht wie es weiter gehen soll.

11.06.2011, 21:53

gonnabphd

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Naja, man muss ja nicht das ganze F anschauen, man kann ja auch bloss die Einschränkung von F auf eine abgeschlossene (!) Menge betrachten - solange F diese Menge in sich selbst abbildet. (z.B. verwendet man diesen "Trick" auch beim Existenz und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf bzw. dem Existenzsatz von Peano bei den DGLn, falls du die Sätze kennst)

D.h., wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} F|_{B}: B \to B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B = C^0([0,1], [-1,1]) \end{eqnarray*}$ einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat, dann ist doch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ logischerweise auch ein Fixpunkt vom uneingeschränkten F.

Grüsse Wink

12.06.2011, 02:02

Mandelbrötchen

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Das mit der Einschränkung ist ein super Hinweis, danke schon mal!

Ich verstehe es richtig, dass ich durch die abgeschlossene auch automatisch eine vollständige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ bekomme, oder?

Die Abgeschlossenheit ist ja wichtig für den Fixpunktsatz, sonst könnte ich nicht garantieren, dass der Fixpunkt in der Teilmenge liegt.

(Hat die geforderte Abgeschlossenheit übrigens etwas damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} C^0([0,1],[-1,1]) \end{eqnarray*}$ dann all seine Häufungspunkte enthält?)

D.h. meine Aufgabe besteht jetzt noch darin zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C^0([0,1],[-1,1]) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, dann kann ich meine Abschätzungen machen wie ich es am Anfang vor hatte (denn dann darf ich ja annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |x\varphi(t)| \le 1 \end{eqnarray*}$ denn ich habe ja so eingeschränkt) und bekomme erst mal die Ausssage über einen Fixpunkt für die Einschränkung und damit natürlich auch für den allgemeinen Fall.

Werd mich dann morgen mal drüber machen, die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} C^0([0,1],[-1,1]) \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Das könnte noch mal knifflig werden, weiß es aber nicht, da ich mir da morgen erst noch mal Gedanken drüber machen muss.

Aber an der Stelle schon mal vielen Dank für die guten Tips smile

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