Irreduzibilität zeigen |
13.12.2006, 16:24 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irreduzibilität zeigen ich möchte bei zwei Polynomen zeigen, ob/ dass sie irreduzibel über sind: 1.) Die genaue Aufgabe lautet zu zeigen, dass es ein gibt, sodass p(a)=0 (das ist klar, da ein Polynom ungeraden Gerades wegen dem ZWS immer eine NS in hat) und das Minimalpolynom zu a über anzugeben. Meine Vermutung ist, dass p(x) selber das Minimalpolynom ist - aber dazu müsste es irreduzibel sein, und das kann ich nicht zeigen. 2.) Ich soll das Minimalpolynom zu über angeben. Also habe ich mir ein Polynom in gebastelt, das als NS hat und bin auf gekommen. Jetzt müsste ich zeigen, dass es irreduzibel ist... (was ich hoffe) Eisenstein funktioniert nicht, und auch der Trick p(x+1) zu betrachten, bringt mich nicht weiter. Gibt es da noch weitere Tricks? Bei 2.) gilt ja auch wegen deg q = 4 nicht mal mehr, dass man "nur" zeigen muss, dass q keine NS in hat (die hat es nämlich wie ich mit Maple rausgefunden habe nicht). Edit: Fehler im ersten Polynom - es heißt |
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13.12.2006, 16:27 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man sieht doch das gilt ?! Oder verstehe ich dich gerade sehr falsch ? |
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13.12.2006, 17:57 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, du verstehst mich nicht falsch, aber ich hab mich vertippt... Es heißt . |
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13.12.2006, 18:24 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok gut. Wie lautet denn die Nullstelle von ? |
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13.12.2006, 19:38 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Willst du da jetzt eine konkrete Zahl? Es gibt (genau) eine reelle NS a = -.8105357137 (mit Maple), die zwar ziemlich irrational aussieht, aber es könnte ja doch irgendein Bruch sein. |
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13.12.2006, 20:05 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeige einfach, dass es keine rationalen Nullstellen gibt. Die einzigen rationalen Zahlen, die in Frage kommen, eine Nullstelle von zu sein, sind . Gruß MSS edit: 0 entfernt. |
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13.12.2006, 20:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Polynom ist genau dann irreduzibel, wenn es keine rationale Nullstelle hat - bei Polynomgrad 3 stimmt das gerade noch. Nun kannst du da folgendermaßen vorgehen: 1. Jede rationale Nullstelle von muss sogar ganzzahlig sein. 2. Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler vom Absolutglied 2. 3. Alle 4 Funktionswerte p(-2),p(-1),p(1),p(2) sind von Null verschieden. |
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13.12.2006, 20:25 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2. und 3. sind mir klar, aber woher weiß ich, dass alle NS ganzzahlig sein müssen und nicht irgendein Bruch sein können? Habt ihr auch eine Idee das zweite Polynom? Da geht das mit den NS ja leider nicht. |
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13.12.2006, 20:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei , wobei alle Koeffizienten ganze Zahlen sein sollen! Ist dann der gekürzte Bruch mit und Nullstelle von , so folgt: . Multipliziere mit und schau dann mal genau hin, was die Teilbarkeit angeht. Gruß MSS |
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14.12.2006, 00:11 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht numerisch, ich würde es mit Cardano machen... Schaut ziemlich wüst aus, aber im Prinzip läufts ja darauf hinnaus zu zeigen das is. |
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14.12.2006, 00:13 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Iiiiieh, da würde ich dann aber wirklich Arthurs und meine Variante vorziehen. Gruß MSS |
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14.12.2006, 00:16 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zweifelsfrei is das eleganter, doch soooo viel schwerer isses auch ned. Rubrik Standardbeweis würd ich sagen. Das vorgehen allgemein hat etwas von guten alten Holzhammer, das ist richtig, aber besser als garnicht drauf zu kommen oder ? |
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14.12.2006, 00:52 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ all: Danke schon mal! @ Lazarus: Cardano sagt mir gar nichts @ MSS: Hm, so ganz blick ich das nicht... Ich habe dann ja . Das ist (bringt mir das was?) . Und ich weiß, dass q in teilt (nach einem Satz in der Übung). Letztendlich will ich ja irgendwie darauf kommen, dass q eins sein muss, oder? Aber für meinen Fall hätte ich einen anderen Ansatz: Sei . Sei eine Nullstelle, r vollständig gekürzt. Dann gilt mit Aufgabe 1a auf diesem Blatt, dass sein muss. Dann könnte ich in diesem Fall sagen: Annahme: . Dann weiß ich, dass r zwei teilen muss, kann die Zahlen ausprobieren und bekomme raus, dass es nicht geht => also kann es keine NS in geben => irreduzibel über . Geht das? |
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14.12.2006, 06:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so geht's. Da hatte MSS wohl vergessen, drauf hinzuweisen: Die Voraussetzung (oder zumindest ) ist schon nötig für diese Aussage! Man denke ansonsten nur an ... |
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14.12.2006, 10:24 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu deiner zweiten Aufgabe: du weißt ja schon, dass das Polynom keine rationale Nullstelle hat. Jetzt musst du noch zeigen, dass es auch nicht als Produkt zweier quadratischer Polynome geschrieben werden kann. Weil dein Polynom nur den Term x^4 und x^2 enthält kannst du folgenden Ansatz machen: Daraus bekommst du ein Gleichungssystem: Jetzt kannst du noch mit dem Satz von Gauß kommen. Nach dem gilt ja, wenn es solche eine Zerlegung gibt, dann gibt es auch d.h. du kannst also für a und b nicht so viele Kombinationen haben... - die kannst du durchprobieren... |
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14.12.2006, 15:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist mir nicht schlüssig, diese Einschränkung auf Faktoren ohne lineares Glied Gegenbeispiel: |
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14.12.2006, 21:58 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich nehm alles zurück... wäre ja auch zu schön gewesen... dann muss halt der allgemeine Ansatz her: also hast du das Gleichungssystem: aber dennoch weißt du, dass liegen müssen. |
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14.12.2006, 22:02 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich hatte es einfach allgemein hingeschrieben.
Und wollte halt dann darauf hinaus, dass ja gilt, also ein Teiler von sein muss. Gruß MSS |
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