Beweis zum Erwartungswert

12.06.2011, 12:19

schweizerkäse

Beweis zum Erwartungswert

Meine Frage:
Die Zufallsvariable X nimmt Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ an und ihr Erwartungswert E(X)< $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ existiert.

Zeige: E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da die Zufallsvariable hier nur Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ annimt, müsste sie diskret sein oder?

Dann ist E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot p_{X}(n) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht weiter ..

12.06.2011, 12:34

Math1986

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RE: Beweis zum Erwartungswert

Zitat:

Original von schweizerkäse

Meine Ideen:
Da die Zufallsvariable hier nur Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ annimt, müsste sie diskret sein oder?

Dann ist E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot p_{X}(n) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht weiter ..

Der Ansatz ist richtig, im Grunde läuft es nun nur noch darauf hinaus, dass du die einzelnen Summanden geschickt umordnest.
Schreib das Summenzeichen mal aus und stelle die Multiplikation als mehrfache Addition dar.

Mach es dir mal mit n=2,3.. klar

13.06.2011, 00:27

schweizerkäse

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13.06.2011, 00:33

Math1986

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RE: Beweis zum Erwartungswert

Zitat:

Original von schweizerkäse
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1\cdot P(X=1) + 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3) + 4\cdot P(X=4) + ... + \infty \cdot P(X=\infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(X=1) + P(X=2) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=4) + ... + P(X=\infty ) + ... + P(X=\infty ) \end{eqnarray*}$

aber ich sehs immer noch nicht oder meintest du das nicht so ?

Doch, so meinte ich es, du bist auf dem Richtigen Weg, du musst hier nur umsortieren und zusammenfassen, dann hast dus auch schon

Wie kannst du denn $\begin{eqnarray*} P(X\geq n) \end{eqnarray*}$ als Summe schreiben?

$\begin{eqnarray*} \infty \cdot P(X=\infty ) \end{eqnarray*}$ ist so auch nicht definiert, lass das mal weg und ersetze es durch "..."

13.06.2011, 09:58

schweizerkäse

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RE: Beweis zum Erwartungswert
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1\cdot P(X=1) + 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3) + 4\cdot P(X=4) + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(X=1) + P(X=2) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=4) + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=4) + ... \end{eqnarray*}$

aah und kann ich dann schon schreiben

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n) \end{eqnarray*}$

ich fang ja an mit n=1 und dann weiter bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , dann mit zwei bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , dann 3 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und immer so weiter und wenn man das zusammenfasst müsste das genau die summe sein oder fehlt da noch ein schritt? und wie ist das mit der schreibweise?

13.06.2011, 11:12

Math1986

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RE: Beweis zum Erwartungswert
Das ist soweit richtig smile

ich würde es so in einer Dreiecksform untereinanderschreiben, aber das was du schreibst ist schon ok

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