Maxima und Minima mit mehreren Variablen

12.06.2011, 17:45

Taladan

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Maxima und Minima mit mehreren Variablen

Hallo,

ich habe ein Problem. Ich soll alle lokalen Minima und Maxima der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z):= 2x^2-4xy+4y^2-x+(z^2-^1)e^z \end{eqnarray*}$
bestimmen. Ich komme aber nicht wirklich weiter.

Zuerst berechene ich (ich glaube es heißt) Nabla

f' nach $\begin{eqnarray*} x = 4x-4y-1=4x-5 \end{eqnarray*}$
f' nach $\begin{eqnarray*} y = -4x+8y =8y-4x \end{eqnarray*}$
f' nach (welch ein monstrum) $\begin{eqnarray*} z = e^z (2z)+(z^2-1)e^z= e^z(z^2+2z-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Nabla f(x,y,z) = (4x-5, 8y-4, e^z(z^2+2z-1)) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe mich bis hierhin nicht verrechnet. Jetzt muß ich die Hessematrix ausrechnen,oder?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -4 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & e^z(2^z+4z+1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun bestimme ich die Nullstellen
$\begin{eqnarray*} x= \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht wie ich nach z auflösen kann und wie ich dann weiter machen soll unglücklich

unglücklich

.

12.06.2011, 17:59

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_...28Mathematik%29

Man fragt sich, ob du weißt warum du was tust. Für was stehen die "nablas" denn? Und was ergeben sie in zusammengefaßter Darstellung?

Wovon bestimmst du Nullstellen? Wozu?

12.06.2011, 19:07

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Ich dache man geht ähnlich vor, wie bei 1 Variablen. Daher die Nullstellen.

Nabla, wie ich es verstanden habe, soll ein Vektor sein, der je nach x,y und z abgleiteten Funktion sein soll.

Und nein, ich weiß nicht was ich hier gerade tue. Das ist ja eben mein Ziel, verstehen was ich hier machen soll. In meinen Script wird nur gezeigt, wie man die Hessematix berechnet. Wies dann weiter geht, steht bestimmt irgendwo. Aber an keiner stelle die ich finden konnte.

12.06.2011, 19:26

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen

Zitat:

Ich dache man geht ähnlich vor, wie bei 1 Variablen. Daher die Nullstellen.

Ich wiederhole mich. Nullstellen wovon. Drück dich doch bitte deutlich aus. smile

smile

Zitat:

Nabla, wie ich es verstanden habe, soll ein Vektor sein, der je nach x,y und z abgeleiteten Funktion sein soll.

Es geht hier um partielle Ableitungen. Stichworte: Jacobimatrix, Gradient. ["Ableitung erster Ordnung"]

Das muss bei euch doch im Skript stehen. verwirrt

verwirrt

12.06.2011, 19:29

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Bestimmt. Ich habe nur vom Script weniger als 5 % verstanden. Und das ist mein Problem. Eine Internetrecherche hatte mir auch nicht viel gebracht.

12.06.2011, 19:34

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Daher ja die Stichworte. Und nun bitte endlich: Von was Nullstellen!!!

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12.06.2011, 19:59

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Ich setze die jeweils erste Ableitung = 0 und rechne diese nach x, y, z aus. Nullstellen halt.

12.06.2011, 20:14

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Hör zu, du möchtest es doch verstehen. Es geht um Nullstellen der ersten Ableitung. Es ist wohl nicht zu viel verlangt, diesen Zusatz auch zu nennen, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sieht nun im Mehrdimensionalen für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung aus? Was versteht man darunter?
(-> deine Recherchearbeit)

Am Ende steht (Darstellung mit partiellen Ableitungen) die Jacobimatrix, hier ein Zeilenvektor. Da Vektor, kann man auch den Gradienten als transponierten Vektor betrachten.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) \\ \frac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man fragt sich nun in einem ersten Schritt, wo gilt:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist also der Gradient gleich dem Nullvektor oder wo gilt $\begin{eqnarray*} J_f(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ , wobei die 0 hier für einen Zeilennullvektor steht. Daher ist es mit "Nullstellen" schon sehr "locker" formuliert, wenn man noch nicht weiß, was man sucht.

Nun schreibe uns den Gradienten für deine Funktion bitte einmal hin. Danke.

12.06.2011, 20:42

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen

Zitat:

Original von tigerbine
Hör zu, du möchtest es doch verstehen. Es geht um Nullstellen der ersten Ableitung. Es ist wohl nicht zu viel verlangt, diesen Zusatz auch zu nennen, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sieht nun im Mehrdimensionalen für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung aus? Was versteht man darunter?
(-> deine Recherchearbeit)

Das was ich oben als Nabla bezeichnet habe ist wohl die Jacobimatrix. Eine Ableitung nach x, y, z. Wobei die Summanden ignoriert werden, wo bei x x nicht enthalten ist. Und Nabla heißt scheinbar dieses auf der Spitze stehende Dreieck?

Zitat:

Original von tigerbine
Am Ende steht (Darstellung mit partiellen Ableitungen) die Jacobimatrix, hier ein Zeilenvektor. Da Vektor, kann man auch den Gradienten als transponierten Vektor betrachten.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,x,z)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y,z) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) \\ \frac{\partial f}{\partial z} (x,y,z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man fragt sich nun in einem ersten Schritt, wo gilt:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,x,z)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist also der Gradient gleich dem Nullvektor oder wo gilt $\begin{eqnarray*} J_f(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ , wobei die 0 hier für einen Zeilennullvektor steht. Daher ist es mit "Nullstellen" schon sehr "locker" formuliert, wenn man noch nicht weiß, was man sucht.

Nun schreibe uns den Gradienten für deine Funktion bitte einmal hin. Danke.

Ich habe dich immer noch nicht ganz verstanden. Muß ich nun in die Jakobimatrix die ersten ableitungen rein schreiben oder die Nullstellen der ersten Ableitung.

also die Ableitungen
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 4x-4y-1 \\ 8y-4 \\ e^z(z^2+2z-1)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die nullstellen Wie bereits oben erwähnt, weiß ich nicht wie ich vom dritten wert eine Nullstelle berechnen kann .
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2}x \\ ??? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

12.06.2011, 20:51

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Das "Dreieck", Nable steht für den Gradienten. Hier bildet die Funktion nach IR ab, daher ist es egal ob wir betrachten/fordern

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,x,z)\stackrel{!}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [Gradient]

$\begin{eqnarray*} J'_f(x,x,z)\stackrel{!}=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ [Jacobimatrix, Ableitung]

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 4x-4y-1 \\ 8y-4 \\ e^z(z^2+2z-1)) \end{pmatrix}\stackrel{!}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kann man nun auch als Gleichungssystem auffassen, i.d.R. nicht linear.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2}x \\ ??? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist eine unsinnige Notation. Beispiel 1D. Gesucht sind Nullstellen von f(x)=2x-2. Für x=1 gilt f(1)=0. Und du schreibst f(x)=1. Zürück zur Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} e^z(z^2+2z-1)=0 \end{eqnarray*}$

Wie geht man das an. nullprodukt, efunktion, abc-Formel.

12.06.2011, 21:27

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Wofür steht das ! auf dem = Zeichen?

Meinst du wirklich (x,x,z) ?

Mit nicht-linearen Gleichungssystemen kann ich (noch) nichts anfangen. Dieseh haben wir noch nicht gehabt.

Verstehe ich dich richtig? Das der Grandient und die Jakobimatix jeweils einen Nullvektor sein muß. Aber was genau ist den nun der Grandient? Die Jakobimatrix hast du ja schon oben erklärt.

Ich hätte gesagt, die e Funktion kann nie null erreichen. also muß man sehen das der Multiplikant 0 wird, dann ist ja alles 0.

Aber ich bekomme die Z nicht weg. So viel ich auch schon meine Notizzettel voll geschrieben habe.
Ich scheitere an dieser Stelle und komme nicht weiter
$\begin{eqnarray*} 1= z^2 +2z \end{eqnarray*}$

Und alle Ableitungen (bzw Nullstellen) sind abhängig von einer Variablen. Das kann doch nicht richtig sein? Wie bei den Nullstellen von x und y.

12.06.2011, 21:51

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
! heißt: soll gelten zur Abgrenzung "=" gilt.

Nein, ich meinte x,y,z

Gradient: googlen. Es geht mir nur darum, dass er hier die Transponierte Jacobimatrix ist.

Zitat:

Mit nicht-linearen Gleichungssystemen kann ich (noch) nichts anfangen. Dieseh haben wir noch nicht gehabt.

Natürlich kannst du die Lösen. Das hier ist doch ein einfaches. Daher geht das von Hand.

Zitat:

Ich scheitere an dieser Stelle und komme nicht weiter
$\begin{eqnarray*} 1= z^2 +2z \end{eqnarray*}$

Was soll das werden? Ich hatte doch schon auf abc-Formel hingewiesen... Liegen quadratische Gleichungen so lange zurück... geschockt

geschockt

smile

12.06.2011, 22:05

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Jein, da ich sie nicht in der Schule hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ohje. PQ Formel unglücklich

unglücklich

Das kriege ich heute abend nicht mehr hin. Da mache ich lieber morgen weiter.

12.06.2011, 22:19

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Dann bis morgen.

13.06.2011, 11:12

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Also, fasse ich mal zusammen. Zuerst wird aus der Formel
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z):= 2x^2-4xy+4y^2-x+(z^2-1)e^z \end{eqnarray*}$
die ersten Ableitungen finden, jeweils zu x, y und z

f' nach $\begin{eqnarray*} x = 4x-4y-1 \end{eqnarray*}$
f' nach $\begin{eqnarray*} y = -4x+8y \end{eqnarray*}$
f' nach $\begin{eqnarray*} z = e^z(2^z+4z+1) \end{eqnarray*}$

Suchen der Nullstellen in den Ableitungen und daraus den Grandienten erstellen.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2} x \\ e^z(-1\pm \sqrt{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Und wie geht es jetzt weiter?

13.06.2011, 16:56

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Nein. Da steht keine Formel, da steht eine Funktion. Von dieser bilden wir die erste Ableitung in Form der Jacobimatrix bzw. hier in transponierter Form als Gradient und suchen durch "nullsetzten, also gleich dem Nullvektor" die kritischen Punkte von f.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 4x-4y-1 \\ 8y-4 \\ e^z(z^2+2z-1)) \end{pmatrix}\stackrel{!}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei handelt es sich um nicht lineares Geichungssystem. Dessen Lösung(en) lauten in Vektorform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x* \\ y* \\ z* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}\\-1 \pm \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dort gilt
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x*,y*,z*)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2} x \\ e^z(-1\pm \sqrt{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll das nun wieder sein? unglücklich

unglücklich

Nun bildet man die Hessematrix von f in den Punkten(x*,y*,z*) und untersucht ihre Definitheit.

14.06.2011, 19:56

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen

Zitat:

Original von tigerbine
Nein. Da steht keine Formel, da steht eine Funktion. Von dieser bilden wir die erste Ableitung in Form der Jacobimatrix bzw. hier in transponierter Form als Gradient und suchen durch "nullsetzten, also gleich dem Nullvektor" die kritischen Punkte von f.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 4x-4y-1 \\ 8y-4 \\ e^z(z^2+2z-1)) \end{pmatrix}\stackrel{!}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei handelt es sich um nicht lineares Geichungssystem. Dessen Lösung(en) lauten in Vektorform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x* \\ y* \\ z* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}\\-1 \pm \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dort gilt
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x*,y*,z*)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2} x \\ e^z(-1\pm \sqrt{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll das nun wieder sein? unglücklich

unglücklich

Nun bildet man die Hessematrix von f in den Punkten(x*,y*,z*) und untersucht ihre Definitheit.

Hallo.

Was ist den der Unterschied zwischen einer Formel und einer Funktion? Ich habe das immer äquivalent verwendet bisher.

Dein erster Schritt ist die Ableitungen zu bilden. Das ist mir klar.

Aber muß man dann nicht die Nullpunkte dieser Ableitungen bilden (mein Vektor) um die Extremwerte zu berechnen?

Ich Versuche die ganze Zeit einen Pfad zu finden, mit dem ich es mit meinen Script vergleichen kann. Ich schreib mal auf wie die es machen.
Hier wird zuerst ein Zeilenvektor gebildet

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} ) \end{eqnarray*}$
also wäre das bei mir
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y, z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} ) \end{eqnarray*}$
Dieser Schritt ist identisch.

Dann wird die zweite Ableitung gebildet
$\begin{eqnarray*} \nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x } \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y } & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
in meinen Fall

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x } & \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x }\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y } & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y } &<br /> \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z } & \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich ins schwimmen. Hier werden Richtungsableitungen errechnet. Damit errechnen die einen Grandienten. Jetzt wird scheinbar ein Wert in die zweite Ableitung angeben und damit die Hessematrix errechent. Als ergebnis kommt eine positiv Definite Matrix heraus. Die dann, warum auch immer ein striktes lokales Minimum ist.

Und ich weiß nicht, wie man ein nicht lineares gleichungssystem mit drei unbekannten lösen soll. Und wofür soll x* stehen?

14.06.2011, 20:23

tigerbine

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
Funktion legt klar fest, von wo nach wo abgebildet ist uns was Parameter sind. In Formeln setzt man nur ein.

Zitat:

Aber muß man dann nicht die Nullpunkte dieser Ableitungen bilden (mein Vektor) um die Extremwerte zu berechnen?

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x*,y*,z*)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dazu gehört dieser Vektor. Das, was man in die Ableitung einsetzt, damit der Nulvektor rauskommt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x* \\ y* \\ z* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}\\-1 \pm \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und was machst du? Links steht die (transponierte) Ableitung und rechts steht nicht der Nullvektor. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1+4y}{4} \\ \frac{1}{2} x \\ e^z(-1\pm \sqrt{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.06.2011, 21:02

Taladan

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RE: Maxima und Minima mit mehreren Variablen
ich weiß nur immer noch nicht wie du auf den Vektor kommst. Du sagst immer wieder das das eine nichtlineare Gleichung ist. Aber wie löse ich die. Du hast ja deine Lösung schon hin geschrieben. Evtl sehe ich auch die ganze Zeit den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Und was bedeutet jetzt x*,y* und z*?

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