Kurvenschar - Lösung prüfen

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12.06.2011, 17:51	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenschar - Lösung prüfen ich habe in ca einer woche nachprüfung in mathe und übe einige aufgaben.habe eine gute aufgabe im inet gefunden, aber leider ohne lösung könnte vielleicht mal ein schauen, ob das richtig ist Aufgabe Gegeben ist die Funktionenschar ft durch $\begin{eqnarray} f_{t}(x)= \frac{x-2t}{x²} \end{eqnarray}$ für t > 0 und x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R\{0} . a) Untersuche das Schaubild $\begin{eqnarray} K_{t} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f_{t} \end{eqnarray}$ auf Nullstellen, Asymptoten, Extrem- und Wendepunkte. b) Zeichne $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ für x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [-4;6]. Welche Wertmenge hat $\begin{eqnarray} f_{t} \end{eqnarray}$ ? c) Wo schneidet die Tangente in der rechten Nullstelle von $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ die Kurve $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ noch einmal? Meine Lösung a) NST (2t\|0) senkrechte Asymptote bei x=0 keine waagerechte Asymptote weil lim in unendliche geht $\begin{eqnarray} f'_{t}(x)= \frac{-x+4t}{x³} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''_{t}(x)= \frac{-4x+6-12t}{x³} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''_{t}(x)= \frac{8x-18+38t}{x³} \end{eqnarray}$ H(4\| $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ ) W(1,5-3t\| $\begin{eqnarray} \frac{1,5-5t}{2,25-9t+9²} \end{eqnarray}$ ) b) Die Werte sind dann NST(2\|0), H(4\|0,125) und W(-1,5\|-1,6) Da würde ich noch gerne wissen wollen, was die mit wertemenge meinen c)t: y=0,75x-1,5 der schnittpunkte ist denn S(-1,1547\|-2,3660) danke schonmal im vorraus
12.06.2011, 21:04	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstelle, senkrechte Asymptote und erste Ableitung stimmen. Über eine waagerechte Asymptote solltest Du Dir noch Gedanken machen, Du könntest für x einige große Zahlen (10, 100 etc) einsetzen und schauen, was passiert. Die zweite Ableitung ist falsch, die mußt Du noch einmal nachrechnen. Das Ergebnis kannst Du dann hier schreiben, gerne mit Rechenweg. Bei dem Hochpunkt vermisse ich t. Zu den anderen Aufgabenteilen können wir dann später kommen.
12.06.2011, 22:03	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei der waagerechten as. würde ich sagen, das sie gegen 0 geht.bei mir kam jetzt immer so 0,0009 und sowas raus.außer wenn ich für x=1 und t=... einsetze.dann kommt immer t-1 raus habe das noch nie wirklich mit den asymptoten verstanden $\begin{eqnarray} f''_{t}(x)= \frac{2x-12t}{x^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''_{t}(x)= \frac{-6x+48t}{x^5} \end{eqnarray}$ hoffe das ist jetzt richtig
12.06.2011, 22:17	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitungen stimmen jetzt, auch die waagerecht Asymtote y=0 ist richtig. Du kannst jetzt Deinen Hochpunkt überprüfen (da gehört noch t rein) und den Wendepunkt neu berechnen, ich überlege mir derweil, wie ich die Berechnung der Asymptote "hübsch" aufschreibe.
12.06.2011, 22:37	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
H(4t\| $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ ) W(6t\| $\begin{eqnarray} \frac{1}{9t} \end{eqnarray}$ )
12.06.2011, 22:54	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig, beim Hochpunkt fehlt bei der y-Koordinate noch ein t im Nenner. Zur Asymptote: Ich habe den Funktionsterm zerlegt. $\begin{eqnarray} f_{t}(x)= \frac{x-2t}{x^2} = \frac{x}{x^2} -\frac{2t}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{2t}{x^2} \end{eqnarray}$ Da kann man sich nun überlegen, welchen Wert die Brüche für x gegen unendlich annehmen. Aufgabenteil b) sollte nur noch Formsache sein. Die Tangente aus c) mußt Du neu berechnen. (Ich habe jetzt mehrere Aufgabenteile gleichzeitig aufgeführt, das mußt Du nicht alles auf einmal machen. Du kannst selbstverständlich jederzeit Fragen oder Ergebnisse schreiben.)
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13.06.2011, 13:51	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
also die tangengleichung habe ich zuerst den anstieg berechnet $\begin{eqnarray} f'_{t}(x)= \frac{-x+4t}{x³} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{t}(2)= \frac{-2+41}{2³}=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{t}(2)= \frac{2-2}{2²}=0 \end{eqnarray}$ berechnung der y koordinate $\begin{eqnarray} 0= \frac{1}{4}x+d \end{eqnarray}$ dann für x 2 einsetzen $\begin{eqnarray} 0= \frac{1}{2}+d \end{eqnarray}$ dann nach d umstellen $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}=d \end{eqnarray}$ das ergibt dann t: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das soweit erstmal richtig
13.06.2011, 14:28	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangentengleichung stimmt!
13.06.2011, 14:43	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
und jetzt muss ich die gleichung mit f(x) gleichsetzen und den x wert ausrechnen
13.06.2011, 14:55	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, y anschließend auch.
13.06.2011, 15:01	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar ich habe die gleichgestellt und die polynomdivision verwendet und mit x-2 dividiert und dann kam ich für x =+-2 ind die funktion eingesetz und den punkt S(-2\|-1) habe ich dann rausbekommen
13.06.2011, 15:06	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Punkt habe ich auch, wenn Du mit dem Rechenweg eine Polynomdivision meinst, stimmt das ebenfalls.
13.06.2011, 15:19	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
juhu jetzt meine letzte frage.was meinen die bei b mit wertemenge $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R \end{eqnarray}$
13.06.2011, 15:25	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wertemenge gibt den Bereich an, den die Funktionswerte annehmen können. Gesucht sind also der tiefste und der höchste Funktionswert (y-Koordinate).
13.06.2011, 16:03	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist der wertebereich y<0,125t
13.06.2011, 16:15	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Das t sollte in den Nenner! $\begin{eqnarray} y \leq \frac{1}{8t} \end{eqnarray}$
13.06.2011, 17:02	plattenpanzn	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt ja.kleiner denkfehler von mir danke nochmal für deine hilfe und einen schönen pfingstmontag noch
13.06.2011, 17:13	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel Erfolg bei Deiner Prüfung!

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