Hazardfunktion

12.06.2011, 18:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hazardfunktion Meine Frage: Die reelle Zufallsvariable X habe die Dichte $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ , das heißt $\begin{eqnarray} F(t)=P(X\leq t)=\int_{-\infty}^t f(s) ds \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} \lambda(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)} \end{eqnarray}$ heißt die Hazardfunktion von X. a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta \downarrow 0}\frac{P(t<X<t+\Delta\|X>t)}{\Delta}=\lambda(t) \end{eqnarray}$ und interpretieren Sie dieses Resultat. b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} F(t)=1-exp(-\int_0^t \lambda(s) ds) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \lambda(t) \end{eqnarray}$ integrierbar ist. Meine Ideen: Zu a): $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta \downarrow 0}\frac{P(t<X<t+\Delta\|X>t)}{\Delta} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{\Delta \downarrow 0}\frac{1}{\Delta}\frac{P(X<t+\Delta)-P(X<t)}{P(X>t)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{\Delta \downarrow 0}\frac{1}{\Delta}\frac{F_X(t+\Delta)-F_X(t)}{1-F_X(t)} \end{eqnarray}$ Aber wie geht es nun hier weiter? Zu b): $\begin{eqnarray} \lambda(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=-\ln (1-F(t))' \end{eqnarray}$ Wenn man dies mit der Kettenregel ableitet, sieht man die Identität. Daraus folgt aber: $\begin{eqnarray} \ln(1-F(t))=-\int_0^t \lambda(s) ds \end{eqnarray}$ . Und Auflösen nach $\begin{eqnarray} F(t) \end{eqnarray}$ liefert schließlich: $\begin{eqnarray} F(t)=1-exp\left(-\int_0^t \lambda(s) ds\right) \end{eqnarray}$ .
13.06.2011, 11:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat vielleicht noch jemand einen Tipp für a)? Dankeschön!
13.06.2011, 16:11	Bey	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Tipp für a): Definition der Ableitung benutzen.
13.06.2011, 17:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dankesehr! $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta\downarrow 0}\left(\frac{F(t+\Delta)-F(t)}{\Delta}\cdot \frac{1}{1-F(t)}\right)=\underbrace{\lim_{\Delta\downarrow 0}\left(\frac{F(t+\Delta)-F(t)}{\Delta}\right)}_{=F'(t)}\cdot \frac{1}{1-F(t)}=\frac{F'(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\lambda(t) \end{eqnarray}$

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