Picard Iteration - wo ist der Fehler?

12.06.2011, 19:56	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Picard Iteration - wo ist der Fehler? Hallo Ich soll folgende DGL mit der Picard-Iteration lösen: $\begin{eqnarray} y'(t)=t+y(t) \end{eqnarray}$ mit Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} y(0)=y_{0} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz dazu: $\begin{eqnarray} y_{n}=y_{0}+\int_0^t \! v(y_{n-1} (s),s) \, ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{1}=y_{0}+\int_0^t \! (y_{0}+s) \, ds = y_{0}+y_{0}t+\frac{1}{2}t^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2}=y_{0}+\int_0^t \! (y_{1}+s) \, ds = y_{0}+y_{0}t+\frac{1}{2}(y_{0}+1) t^{2}+\frac{1}{6}t^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{3}=y_{0}+\int_0^t \! (y_{2}+s) \, ds = y_{0}+y_{0}t+\frac{1}{2}(y_{0}+1) t^{2}+\frac{1}{6}(y_{0}+1)t^{3}+\frac{1}{24}t^{4} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass als Lösung $\begin{eqnarray} y(t)=y_{0}e^{t}-t-1 \end{eqnarray}$ rauskommen soll Wie bekomme ich meine obige Iteration als Reihendarstellung der Lösung hin? Hab ich mich vllt. irgendwo verrechnet? Vielen Dank schon mal für eure Hilfe Gruß Biene
13.06.2011, 03:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Picard Iteration - wo ist der Fehler? Also ich würde im Aufschrieb die Terme sotieren nach "mit y0" und ohne. Dann würde ich meinen, dass gilt $\begin{eqnarray} y(t)=(y_0+1)e^{t}-t-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(t)=(y_0+1)e^{t}-1=(y_0+1)e^{t}-t-1+t = y(t)+t \end{eqnarray}$
13.06.2011, 10:06	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal Tigerbine. Allerdings tuen sich bei mir jetzt noch mehr Fragen auf: Die Lösung $\begin{eqnarray} y(t)=y_{0}e^{t}-t-1 \end{eqnarray}$ bekam ich durch Variation der Konstanten raus. Wie kann es sein dass hier zwei verschiedene Lösungen rauskommen ? Die DGL müsste ja nach Picard-Lindelöf eindeutig sein. Andererseits: wie komm ich von meinem Aufschrieb zu der Reihendarstellung: $\begin{eqnarray} y(t)=(y_{0}+1)\cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{t^{k} }{k!}) -t-1 \end{eqnarray}$ Denn schon für k=1 stimmt diese Reihendarstellung nicht mit meiner Iteration überein Gruß Biene
13.06.2011, 17:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sagte ja nur meinen... Kann ja sein, dass ich was übersehen habe. Es sollte schon das gleiche rauskommen. Schreiben wir es mal so hin, wobei ich nun nur deine Terme umordne und eine 0 in Form von 1+t-1-t einfüge. $\begin{eqnarray} y_{1}=y_{0}+\int_0^t \! (y_{0}+s) \, ds = y_{0}(1+t)+(1+t+\frac{1}{2}t^{2}) -1-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2}=y_{0}+\int_0^t \! (y_{1}+s) \, ds = y_{0}(1+t+\frac{1}{2}t^{2})+(1+t+\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{6}t^{3}) -1-t \end{eqnarray}$ Somit sehe ich da 2mal Potential für die e-Funktion.
13.06.2011, 17:13	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
@Maja Da hast Du dann eben die Konstante falsch variiert lg
13.06.2011, 20:42	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja ihr habt natürlich Recht , meine Lösung erfüllt gar nicht das Anfangsproblem, habe mich beim Einnsetzten verrechnet Ich probiers jetzt gleich nochmal und schau ob ich auf die gleiche Reihe wie Tigerbiene komme Gruß Biene
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »