Matrixdarstellung bestimmen

13.06.2011, 00:23

dub89

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Matrixdarstellung bestimmen

Hi,

Wink

leider beginnt mein erster Beitrag hier gleich mal mit einem Problem ...

Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2} \Rightarrow \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ linear. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \end{vmatrix} \right) = \begin{vmatrix} 2 \\ 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{vmatrix} -1 \\ 1 \end{vmatrix} \right) = \begin{vmatrix} 4 \\ -5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich in der Forensuche schon nach ähnlichen Problemen gesucht und bin auch fündig geworden, jedoch wird hier statt f die Basis angegeben.
Muss ich mir bei meiner Aufgabenstellung erst die Basis (minimales Erzeugendensystem) ausrechnen oder besteht hier gar kein Zusammenhang zu meinem Problem?

Ich bin für jeden Hinweis/Tipp dankbar!

Edit: Rechtschreibfehler

13.06.2011, 00:30

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
1. Willkommen

Willkommen

2. Keine || für Matrizen, Vektoren, sondern ()

3. Wie nehmen an, dass M bzgl. der Basis dargestellt werden soll, bzgl. der die Vektoren angegeben sind.

4. Dann wird es ja schon fast langweilig.

Was muss M leisten?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\-5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun bist du dran. Weißt du denn, die Bilder welcher Vektoren in den Spalten von M stehen werden?

13.06.2011, 01:05

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Ich poste mal meinen Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot 1 + m_{12} \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot 1 + m_{22} \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot (-1) + m_{12} \cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot (-1) + m_{22} \cdot 1 = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{11},m_{12},m_{21},m_{22} \end{eqnarray*}$ müssen durch die Basis dargestellt werden können. Das heißt sie müssten linear abhängig sein. Die Basis wird in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ durch zwei linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gebildet?

Ich hoffe, ich liege da jetzt nicht komplett falsch.

Edit: Formatierung

13.06.2011, 01:11

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Also

$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot 1 + m_{12} \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot 1 + m_{22} \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot (-1) + m_{12} \cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot (-1) + m_{22} \cdot 1 = -5 \end{eqnarray*}$

finde ich ja ganz gut. Den Rest vergessen wir besser. Bei den Einträgen einer Matrix macht es keinen Sinn von linear unabhängig zu sprechen.

Kannst du aus obigen 4 Gleichungen für 4 Unbekannte deren Werte ermitteln? Wie lautet also die Matrix?

13.06.2011, 01:12

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Ich denke es handelt sich um eine erweiterte Koeffizientenmatrix mit konstanten Koeffizienten.
Das heißt man muss nur noch die 4 Unbekannten mittels z.B. Gauss-Algorithmus ausrechnen.

13.06.2011, 01:19

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Nein, handelt es sich nicht. Die m stammen aus unsere Matrix M. Man kann diese Gleichungen natürlich unter neuem Blickwinkel betrachten.

Werden wir praktisch, bitte berechne uns die Lösung. Ob sie stimmt erfährst du durch Probe.

Dabei schlage ich vor, über einen Sinnvollen Aufschrieb der Gleichungen nachzudenken. Also im Moment ist die Anordnung noch nicht wirklich vorteilhaft. Da geht noch was.

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13.06.2011, 01:35

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Hmm, so könnte es doch auch funktionieren - oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} = 2 \\ -m_{11} & m_{12} = 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II = I + II
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} = 2 \\ 0 & 2 \cdot m_{12} = 6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot m_{12} = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{12} = 3 \end{eqnarray*}$

dann einsetzen:
$\begin{eqnarray*} m_{11} + 3 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{11} = -1 \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 01:38

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Diese Schreibweise soll was bedeuten... Also diese Striche... | | für Beträge und Determinanten verwenden.

Aber die Paarung ist gut gewählt. Und die zweite Paarung liefert? Was sagt die Probe?

13.06.2011, 01:47

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Danke vielmals! Gott

Gott

Die zweite Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} m_{21} & m_{22} || 3 \\ -m_{21} & m_{22} || -5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II = I + II
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} m_{21} & m_{22} || 3 \\ 0 & 2 \cdot m_{22} || -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot m_{22} = -5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{22} = -1 \end{eqnarray*}$

dann einsetzen:
$\begin{eqnarray*} m_{21} -1 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} = -4 \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 01:52

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Schon wieder diese Striche. Gewöhne dir das ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir lösen.

$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot 1 + m_{12} \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{11} \cdot (-1) + m_{12} \cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot 1 + m_{22} \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{21} \cdot (-1) + m_{22} \cdot 1 = -5 \end{eqnarray*}$

hier einfach nur durch I und II Schreibweise wie in der Schule. Wie lautet nun M, stimmt die Probe?

13.06.2011, 02:02

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Achso, jetzt verstehe ich ... gut ich stelle das am besten erst gar nicht erst in Frage, aber normalerweise schreibe ich eine Matrix in einer "eckigen" Klammer an. Für die Korrekte Notation werde ich mir den Artikel "Hilfe:TeX" auf Wikipedia ansehen.

Die Matrix M müsste so aussehen:
$\begin{eqnarray*} -1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -5 \end{eqnarray*}$

Danke nochmal!

13.06.2011, 02:11

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Das ist nun wieder Unsinn. Ich hatte schon am Anfang gesagt, was ich am Ende erwarte

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das man LGS mit "=" und ähnlichen in einer Matrixnotation verwurschtelt ist furchtbar. Das gehört nicht in eine Matrix. Die erweiterte Koeffizientenmatrix mag für Leute noch nützlich sein, die "rechnen", also als optisches Hifsmittel, aber sie erschwert das Verständnis in der LinA. daher: lass es.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -5 \end{eqnarray*}$

Das ist keine Matrix. Dort stehen 4 triviale Gleichungen.

13.06.2011, 02:15

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 02:16

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Probe gemacht? Leistet die Matrix, was wir gefordert hatten?

13.06.2011, 02:19

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Probe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Probe zeigt, dass die Matrix M richtig ist!

13.06.2011, 02:27

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Dann back to the beginning:

Zitat:

Weißt du denn, die Bilder welcher Vektoren in den Spalten von M stehen werden?

13.06.2011, 02:43

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Hmm, bevor ich eine Antwort auf die Frage geben kann, werde ich mir wohl noch ein bisschen Theorie ansehen müssen.
Derzeit kenne ich nur die Definition:
$\begin{eqnarray*} Bild f = \left\{ \vec y \in \mathbb R^{m} | \exists \vec x \in \mathbb R^{n} mit f(\vec x)=\vec y\right\} = \left\{f(\vec x)|\vec x \in \mathbb R^{n} \right\} \end{eqnarray*}$

Edit: Eine eventuell wertvolle Information habe ich noch gefunden:
Bild von M = lineare Hülle der Spalten von M

13.06.2011, 02:51

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
viel zu kompliziert.

Was ist denn

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}=? \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 03:01

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Achso ... M wird also einfach mit der Basis aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das sind dann die Bilder der Vektoren in den Spalten von M:
$\begin{eqnarray*} \vec e_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec e_{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 03:07

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Also in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.

13.06.2011, 03:08

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} \vec e_{1} , \vec e_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.06.2011, 03:12

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
E solltest du nicht nehmen, denn das bezeichnet ja die Basisvektoren. Es reicht, wenn du dir den Satz merkst.

l in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.

13.06.2011, 03:14

dub89

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Danke für die rasche und kompetente Hilfe!

13.06.2011, 03:16

tigerbine

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RE: Matrixdarstellung bestimmen
Wink

Wink

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