Irrfahrt in den natürlichen Zahlen

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Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
Irrfahrt in den natürlichen Zahlen
Hallo liebe Matheboard'ler,

ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe, bei dem es sich mMn um eine Irrfahrt in den natürlichen Zahlen handelt.

Ich starte bei der Zahl 1, die 0 ist absorbierend und ich gehe mit Wkt. von der 0 weg (und mit Wkt ) zur 0 hin. [Das ganze natürlich i.i.d]

Gesucht ist nun die Gesamtwahrscheinlichkeit mit der ich im Zustand 0 lande.


Meine Versuche beliefen sich auf Folgendes:

Sei die Wkt., dass ich den Zustand 0 erreiche, wenn ich im Zustand starte.



Es gestaltet sich für mich allerdings schwierig zu sehen, wie ich das ganze etwa in eine Reihe fassen könnte. Ist mein Ansatz überhaupt vernünftig?

Grüße Wink
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich push mal dreisterweise, da ich immernoch nicht zu einer Lösung gekommen bin verwirrt

Nichts für Ungut Wink
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shortstop
die 0 ist absorbierend und ich gehe mit Wkt. von der 0 weg

Die beiden Sachen widersprechen sich m.E.: Wenn die 0 absorbierend ist, kannst du doch nicht mit positiver Wahrscheinlichkeit von ihr weggehen. verwirrt
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich hab mich vielleicht missverständlich ausgedrückt. Ich meine, dass ich mich mit Wkt. von der 0 entferne. (Ich starte ja in der 1) Wenn ich einmal in der 0 bin, ist das Ereignis "Erreiche die 0", dessen Wkt. ich suche, ja eingetreten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz ist vernünftig. Allerdings ist es nicht notwendig, eine unendliche Reihe zu betrachten. Nimm deine erste Gleichung:



Damit damit man vom Punkt 2 zum Punkt 0 gelangt, muss man irgendwann das erste mal zum Punkt 1 gelangen und von dort dann zum Punkt 0. Die Wahrscheinlichkeit vom Punkt 2 irgendwann zum ersten mal zum Punkt 1 zugelangen, ist aber dieselbe, wie vom Punkt 1 irgendwann zum Punkt 0 zu gelangen, also . Und die Wahrscheinlichkeit, dann zum Punkt 0 zu gelangen, ist wieder .

Man hat also:



Damit hat man eine quadratische Gleichung für .
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

...manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht Big Laugh

Danke euch!
 
 
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins nochmal, ich löse diese quadratische Gleichung allerdings mit oder .

Wie soll ich das jetzt interpretieren, dass ich 2 Lösungen erhalte? Es kann ja nur eine Wahrscheinlichkeit geben?

edit: Meine logische Erklärung wäre, dass nur der Fall ist, falls . Aber diesen hatte ich beim lösen der Gleichung ausgeschlossen, um durch p teilen zu können...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shortstop
Wie soll ich das jetzt interpretieren, dass ich 2 Lösungen erhalte? Es kann ja nur eine Wahrscheinlichkeit geben?

Zumindest im Fall kann es ja nur die eine der beiden Lösungen sein.

Im Fall musst du dir noch was überlegen, warum es die andere sein muss. Augenzwinkern
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde so argumentieren:





Bin mir nur nicht sicher ob ich eine echt-kleiner-Abschätzung machen darf...

edit..obwohl, dass würde ja dann für alle p außer 0 gelten und das kann ja nicht sein verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Woher willst du wissen, dass ist? Das ist i.a. sogar falsch, lediglich ist klar.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ja habs gemerkt, macht keinen Sinn. Der naive Gedanke war, je weiter ich von der 0 weg bin um so geringer die Wkt., die 0 zu erreichen.

Ich muss also irgendwie anders argumentieren, dass für . Werd mal noch ne Runde drüber nachdenken.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, rein logisch gesehen erreicht man natürlich nicht mit Sicherheit die 0 wenn man sich mit größerer Wkt. von ihr entfernt als zu ihr hinbewegt. Aber kann ich das in diesem Fall überhaupt mathematisch begründen?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nochmal smile

Ich komme hier einfach nicht auf eine mathematisch saubere Begründung, könntest du mir vielleicht wenigstens noch einen Tipp geben?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist gut, dass du diese Frage nicht oberflächlich beantwortest. Der Sachverhalt erscheint mir nicht ganz trivial.

Es erscheint offensichtlich, dass die Funktion in stetig ist. Wenn man von der Stetigkeit ausgeht, ist die Sache einfach. Es ist ja offensichtlich . Dann kommt für p > 1/2 nur die Lösung p/(1-p) in Frage. Denn sonst könnte nicht stetig sein.

Auch wenn es offensichtlich erscheint, das ist kein mathematischer Beweis für die Stetigkeit. Und eine ganz einfache Argumentation ist mir dazu nicht eingefallen.

Man kann die Funktionenfolge betrachten, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass man nach spätestens 2n + 1 Schritten beim Punkt 0 gelandet ist. Es gilt



ist in [0, 1] stetig. Für die obige Funktionenfolge kann man mittels des Weierstraßschen Majorantenkriteriums zeigen, dass sie in [0, 1] gleichmäßig konvergiert. Damit ist auch die Grenzfunktion stetig.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du lieber Himmel... da konnte ich ja lange überlegen, ich dachte es wäre ein wenig trivialer zu begründen. Danke dir auf jeden Fall, dann muss ich wohl da durch...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht ausgeschlossen, dass es auch einfacher geht. Mir ist nur nichts zwingendes eingefallen. Vielleicht hat René Gruber eine Idee.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, momentan auch nicht so richtig. Vielleicht kann man alternativ mit Borel-Cantelli was tun, hab da aber nicht genauer drüber nachgedacht.
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