Induzierte Metrik auf Einheitskreis

13.06.2011, 13:45	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte Metrik auf Einheitskreis Hallo, ich habe eine Aufgabe und weiss nicht so recht wo ich anfangen soll, hier die original Aufgabenstellung "Prove that the intrinsic metric induced by the restriction of Euclidean distance to the circle x² + y² = 1 is the angular metric." für den R2 möchte ich es zeigen. Die angular metric lautet: $\begin{eqnarray} d(x,y)=arccos(<\vec{x},\vec{y}> ) \end{eqnarray}$ Ich habe da jetzt schon relativ viel rumgedoktort, habs z.B. mit Polarkoordinaten versucht. Wie gehe ich das jetzt überhaupt an? Ich habe versucht die Euklidische Metrik so umzumodeln, dass ich zur Lösung komm. Dafür habe ich Polarkoordinaten eingeführt und r=1 gesetzt. Das Problem ist: ich habe dann immer überall noch dämliche Wurzeln: Also der eukl Abstand ist: $\begin{eqnarray} d(x,y) = \|\|x-y\|\| \end{eqnarray}$ Polarkoordinaten mit r=1: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1} := sin(\alpha)<br /> y_{1} := cos(\alpha)<br /> x_{2} := sin(\beta)<br /> y_{2} := cos(\beta)<br /> \end{eqnarray}$ einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} <br /> d(x,y)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})²+(y_{1}-y_{2})²} <br /> <br /> \sqrt{2-2sin(\alpha)sin(\beta)-2 cos(\alpha)* cos(\beta))}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{2}\sqrt{1-(sin(\alpha)sin(\beta)+cos(\alpha)* cos(\beta)}<br /> \end{eqnarray}$ mit der Identität für Winkel zwischen Vektoren: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{2}\sqrt{1-arccos(<\vec{x} ,\vec{y}> )}<br /> \end{eqnarray}$ Das hilft mir irgendwie nicht so recht weiter... kann mir jemand helfen, fange ich schon komplett falsch an??
13.06.2011, 14:56	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja in dem Post oben steht ziemlich viel Mist...

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