Mehrere Wendepunkte?!

13.06.2011, 15:08	GhostFACE	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrere Wendepunkte?! Wie kann man herausfinden, ob in einer Funktion (oder einem Graphen) mehrere Wendepunkte vorhanden sind?
13.06.2011, 15:10	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hängt davon ab, wieviele Nullstellen die 2. Ableitung hat, an denen die 3. nicht 0 ist.
13.06.2011, 15:12	GhostFACE	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du das einem Beispiel etwas verdeutlichen?
13.06.2011, 15:30	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme als Beispiel eine beliebige Funktion 4. Grades, mit der man schön rechnen kann: f(x)=x^4-x^3-x^2-x+1 1. Mal ableiten f'(x)=4x^3-3x^2-2x-1 2. Mal ableiten f''(x)=12x^2-6x-2 Davon bestimmst du nun mit der abc-Formel die Lösungen: $\begin{eqnarray} x_{1}=\frac{6+\sqrt{36+96}}{24}=\frac{6+\sqrt{132}}{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=\frac{6-\sqrt{36+96}}{24}=\frac{6-\sqrt{132}}{24} \end{eqnarray}$ Das könnte man jetzt noch vereinfachen, bin ich jetzt aber mal zu faul dazu. Nun setzt du diese Werte in die 3. Ableitung ein: f'''(x)=24x-6 Mit x1: $\begin{eqnarray} 24\cdot\frac{6+\sqrt{132}}{24}-6=6+\sqrt{132}-6=\sqrt{132} \end{eqnarray}$ Mit x2: $\begin{eqnarray} 24\cdot\frac{6-\sqrt{132}}{24}-6=6-\sqrt{132}-6=-\sqrt{132} \end{eqnarray}$ Beides Mal ist das Ungleich 0, also hat die 2. Ableitung zwei Nullstellen, an denen die 3. Ableitung ungleich 0 ist und somit hat die Funktion 2 Wendepunkte. Generell gilt, dass ein Polynom vom Grad n maximal n-2 Wendepunkte haben kann.

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