Verteilungsdichte

13.06.2011, 22:35

Martin09

Verteilungsdichte

Einen wunderschönen Guten Abend in die Runde.

Es sei folgende Verteilungsdichtefunktion f(x) gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{c}{e^{x}+e^{-x} } \end{eqnarray*}$

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X in 2 unabhängigen Versuchen immer <=1 ist.

2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in in diesen beiden Versuchen X mindestens einmal <=1 ist?

Da meine Stochastik-Kenntnisse etwas eingerostet sind, möchte ich darum bitten, meine Lösung zu überprüfen:

zu 1)
Bestimmung von c über
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 \end{eqnarray*}$
ergibt
$\begin{eqnarray*} c=\frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

Die Verteilungsfunktion lautet daher:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{-\infty}^x \! f(x) \, dx=\frac{2}\pi*\arctan e^{x} +1 \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch X<=1 herauskommt
$\begin{eqnarray*} F(1)-F(-\infty)=1.775-\frac{2}{\pi}=0.204... \end{eqnarray*}$
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{eqnarray*} (F(1)-F(-\infty))^{2} = 0.04... \end{eqnarray*}$

zu 2)
Einzelwahrscheinlichkeiten beider Versuche addieren:
$\begin{eqnarray*} 2*(F(1)-F(-\infty))=0.408 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus und noch einen schönen Abend!

14.06.2011, 09:10

René Gruber

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Einiges richtig, aber doch auch sehr viel falsch:

Zitat:

Original von Martin09
zu 1)
Bestimmung von c über
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 \end{eqnarray*}$
ergibt
$\begin{eqnarray*} c=\frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Martin09
Die Verteilungsfunktion lautet daher:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{-\infty}^x \! f(x) \, dx=\frac{2}\pi*\arctan e^{x} +1 \end{eqnarray*}$

Nein: Das "+1" gehört da nicht hin, es ist schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{2}\pi \cdot \arctan\left(e^x\right) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Martin09
$\begin{eqnarray*} F(1)-F(-\infty)=1.775-\frac{2}{\pi}=0.204... \end{eqnarray*}$

Arg verrechnet: Es ist

$\begin{eqnarray*} p = F(1)-F(-\infty) = \frac{2}{\pi}\arctan(e) - 0 \approx 0.7756 \end{eqnarray*}$

Die Berechnungsweise von "zweimal <= 1" als $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ist richtig, wegen Folgefehlers natürlich bei dir mit dem falschen Endwert.

Zitat:

Original von Martin09
zu 2)
Einzelwahrscheinlichkeiten beider Versuche addieren:

Nein, so geht das nicht. Tatsächlich lautet die Rechnung da

$\begin{eqnarray*} 1-(1-p)^2 = 2p-p^2 \approx 0.9496 \end{eqnarray*}$ .

15.06.2011, 00:30

Martin09

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Vielen Dank für Deine ausführliche Korrektur, René.

Ich interpretiere das Ergebnis so, dass hier die Wahrscheinlichkeiten von 3 Fällen auch aufsummiert werden können.

mit Xi: Ausgang i-ter Versuch

1.Fall : X1<=1, X2>1

2.Fall : X1>1, X2<=1

3.Fall :X1<=1, X2<=1

dann komme ich ebenfalls auf:
$\begin{eqnarray*} 2p(1-p)+p^2=p(2-p)=2p-p^2 \end{eqnarray*}$

Dein Ansatz mit der Gegenwahrscheinlichkeit ist aber genialer. Gott

Vielen Dank für die Unterstützung!

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