Substitution (Differentialgleichung)

13.06.2011, 22:56

Mijo

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Substitution (Differentialgleichung)

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zur einer alten Klausuraufgabe, die mir ein bisschen Kopfzerbrechen bereitet.

Es geht um folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \frac{x^{3}}{x^{8}+ 1} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich sehe natürlich die Ableitung vom arctan(x) und weiß, dass ich demtentsprechend etwas substistuieren muss, aber leider fehlt mir der zündende Gedanke. Es wäre wirklich cool, wenn mir jemand helfen könnte.

13.06.2011, 23:07

Mulder

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RE: Substitution (Differentialgleichung)
$\begin{eqnarray*} x^4=t \end{eqnarray*}$

(wo ist da eine DGL?)

14.06.2011, 08:56

Mijo

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Hallo Mulder,

erstmal vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.
Ich meine eigentlich "Differentialrechnung" und nicht "Differentialgleichung". Ich war gestern schon so ein bisschen im Halbschlaf. Sorry dafür!

Ich hatte mir das auch überlegt, bin aber dann am x³ gescheitert. Ich habs jetzt aber mal zu Papier gebracht und hoffe, dass ich das so richtig gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \frac{x^{3}}{x^{8}+1} \, dx <br /> <br /> \Rightarrow x^{4} = t <br /> <br /> \Rightarrow \int_0^2 \! \frac{1}{t^{2}+1} * \frac{t}{x} * \frac{1}{4x^{3}} \, dt <br /> <br /> \Rightarrow \frac{1}{4} \left[arctan(x)\right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für die Hilfe!

14.06.2011, 11:40

Mulder

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Zitat:

Original von Mijo
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{4} \left[arctan(x)\right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis würde stimmen, wenn im Argument des arctan nicht nur x stehen würde, sondern... ? (vielleicht ein Tippfehler).

Ansonsten ist da formal vieles unsauber (bzw. einfach falsch, wenn man es genau nimmt). Entweder Ggrenzen mitsubstituieren (die ändern sich dann ja), oder erstmal unbestimmt integrieren und am Ende die Integrationsgrenzen wieder hinzufügen, denn die Grenzen 0 und 2 gehören zu x, nicht aber zu t.

14.06.2011, 16:55

Mijo

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Okay, du hst Recht. Da müsste "t" statt "x" stehen. Das war wirklich nen Tippfehler. Man muss ja auch wieder rücksubstituieren.

Stimmt, ich Dummkopf hab die Grenzen vergessen. Es müsste also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left[arctan(t)\right]_{0}^{16} \end{eqnarray*}$

sein.

Darf ich vielleicht nochmal eine Frage zur Substitution stellen?
Ich komme bei

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{4}{5} \! \frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

auch nicht auf den richtigen Ansatz. Wir haben das Thema noch nicht lange und irgendwie fehlt noch der Blick dafür. Ich sehe, dass da vielleicht etwas mit dem arcsin möglich wäre, aber irgendwie bin ich wieder zu blöd...

Viele Grüße
Mijo

PS: Ich weiß, dass da vieles unsauber und falsch aufgeschrieben war, aber mit Latex ist das noch etwas umständlich. Es soll keine Entschuldigung sein, aber ich brauche auch in der Klausur nur Ergebnisse einzutragen, Lösungswege und Format der Lösungswege interessiert keinen, weswegen ich wohl leider oft auch zu falschen Formaten neige.

14.06.2011, 17:30

Mulder

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Zitat:

Original von Mijo
Man muss ja auch wieder rücksubstituieren.

Oder man integriert wie gesagt unbestimmt und führt nach dem Integrieren eine Rücksubstitution durch (sprich man ersetzt das t wieder durch x^4). Dann kann man wieder die alten Grenzen nehmen. Führt beides zum gleichen Ergebnis.

Zitat:

Original von Mijo
$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{4}{5} \! \frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Hier bietet es sich an, das Integral auseinander zu ziehen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Das erste ist ein Grundintegral, beim zweiten kann man auch leicht eine passende Substitution finden.

Zitat:

Original von Mijo
Wir haben das Thema noch nicht lange und irgendwie fehlt noch der Blick dafür. Ich sehe, dass da vielleicht etwas mit dem arcsin möglich wäre, aber irgendwie bin ich wieder zu blöd...

Um einen richtigen Blick dafür zu kriegen reichen auch ein paar Tage und ein paar Übungsaufgaben nicht. Integrieren kann man sich am besten aneigenen, wenn man es immer wieder übt. Die Kenntnis diverser Grundintegrale (Integraltabellen) hilft aber natürlich auch.

Zitat:

Original von Mijo
[...] aber ich brauche auch in der Klausur nur Ergebnisse einzutragen, Lösungswege und Format der Lösungswege interessiert keinen

Wie will man in einer Klausur Ergebnisse eintragen, wenn man die Lösungswege nicht kennt? verwirrt

verwirrt

Naja, ist dein Bier. Ich weise nur drauf hin, wenn etwas formal unsauber ist.

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14.06.2011, 20:36

Mijo

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Zitat:

Oder man integriert wie gesagt unbestimmt und führt nach dem Integrieren eine Rücksubstitution durch (sprich man ersetzt das t wieder durch x^4). Dann kann man wieder die alten Grenzen nehmen. Führt beides zum gleichen Ergebnis.

Okay, das werde ich mir merken.

Zitat:

Hier bietet es sich an, das Integral auseinander zu ziehen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Das erste ist ein Grundintegral, beim zweiten kann man auch leicht eine passende Substitution finden.

Ah, stimmt. Es kann ja so einfach sein... Das zweite kenne ich schon als Beispiel aus der Vorlesung, das wird dann einfach.

Zitat:

Wie will man in einer Klausur Ergebnisse eintragen, wenn man die Lösungswege nicht kennt? Naja, ist dein Bier. Ich weise nur drauf hin, wenn etwas formal unsauber ist.

So meinte ich das nicht. Es ist so, dass wir MultipleChoice und Ergebnisteil haben. Im Ergebnisteil müssen wir nur das richtige Ergebnis in ein Kästchen eintragen.
Natürlich muss ich die Lösungswege kennen, aber ich muss sie nicht mathematisch korrekt aufschreiben. Das führt dazu, dass ich meistens unkorrekte Schnellschreibweisen benutze. Sorry dafür.

Deine Hilfe ist echt super. Das bringt mich echt weiter.
Eine Sache ist mir noch eingefallen: Ich saß gestern mit 2 Kommilitonen zusammen und keiner von uns konnte eine Aufgabe mit Musterlösung nachvollziehen (siehe Anhang)
Es wäre echt toll, wenn du da vielleicht auch nochmal kurz einen Blick drauf werfen könntest.

Viele Grüße

14.06.2011, 20:40

Mulder

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Naja, ich weiß nicht, was ich da jetzt großartig ergänzen kann, wenn der Lösungsweg schon beschrieben wird. Das mit dem tan(x/2) ist die sogenannte Generalsubstitution.

Ich weiß ja nicht, an welchem Schritt es nun konkret scheitert...

14.06.2011, 20:46

Mijo

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Ahh, das wusste ich nicht. Das könnte in der letzten Vorlesung erwähnt worden sein.
Aber jetzt verstehe ich das ganze mit Hilfe des Links. Super! Danke für die tolle Hilfe. Darf ich mich bei Problemen vielleicht wieder melden?

Schönen Abend noch!

16.06.2011, 12:11

Mijo

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Ahh, immer wenn ich denke, dass es klappt, klappt es nicht mehr...

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! log(1+\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray*}$

Also, da dies eine Aufgabe aus dem Multiple-Choice-Teil ist und mögliche Lösungen vorgegeben sind, habe ich da mal einen Blick drauf geworfen. Da sieht es so aus, als wäre der log(x) substituiert worden, weil bei 3 von 5 Lösungen der log auf die Integrationsgrenzen angewendet wurde.

Ich habe also z := log(x) substituiert. Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! z(1+\frac{1}{x}) x \, dz \end{eqnarray*}$

(für a=log(2), b=log(3))

Jetzt stecke ich da bloß fest, weil ich mal wieder zu dumm bin. Kann mir jemand nen Tipp geben?

16.06.2011, 12:24

Mulder

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Eine passende Substitution fällt mir nicht ein (das heißt aber natürlich nicht, dass es keine geben kann), ich würde hier, wie so oft bei einem "alleinstehenden" ln-Term, partiell rangehen:

$\begin{eqnarray*} \int 1 \cdot \ln \left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) \, \dx \end{eqnarray*}$

Wie man u und v' da wählt, ist ja klar.

16.06.2011, 15:01

Mijo

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Stimmt, partiell bietet sich wirklich an...

Ich habe dann daraus folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int 1 \cdot \ln \left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) \, \dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[x * log(1+\frac{1}{x}) \right]_{2}^{3} - \int_2^3 \! x * \frac{1}{1+\frac{1}{x} } * (-\frac{1}{x^{2} }) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[x * log(1+\frac{1}{x}) \right]_{2}^{3} + \int_2^3 \! \frac{1}{x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[x * log(1+\frac{1}{x}) \right]_{2}^{3} + \left[log(x+1)\right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(3*log(\frac{4}{3}) - 2*log(\frac{3}{2}) \right) + \left(log(4) - log(3)\right) \end{eqnarray*}$

So, jetzt noch die erste Klammer vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[3*(log(4)-log(3)) - 2*(log(3)-log(2)\right] + \left(log(4) - log(3)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4*log(4) - 6*log(3) + 2*log(2) \end{eqnarray*}$

So, ohne Wolfram Alpha hätte ich immer noch nicht die richtige Lösung.

4*log(4) ist ja auch nur 8*log(2). O:-)
Also:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 10*log(2) - 6*log(3) \end{eqnarray*}$

So, das hat mich jetzt gut weitergebracht. Dann denkt man auch wieder an die Logarithmusgesetze.^^

17.06.2011, 17:55

Mijo

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Ich glaube, ich bin einfach zu blöd dafür...

Also, bei der hier hab ich zumindest was versucht, weiß aber nicht, ob es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \! cos^{3}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Dann ich das erstmal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \! (1-sin^{2}(x))*cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

und anschließend substituiert:

$\begin{eqnarray*} z = 1-sin^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Daraus ergab sich dann:

$\begin{eqnarray*} \int_1^0 \! z * cos(x) * \frac{1}{-cos(x)} \,dz \Rightarrow -1 \int_1^0 \! z \,dz \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen oder ist das völlig falsch?

---

Außerdem komme ich hier nicht weiter, weil ich dafür keinen Ansatz finde:

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{1}{x^{2}-x } \, dx \end{eqnarray*}$

Könnte ich einen kleinen Tipp bekommen? Ich denke, dass es viel einfacher ist als ich denke, aber ich hab mal wieder nen Brett vorm Kopf.

17.06.2011, 18:16

Mijo

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Okay, ich hab nen Fehler in der ersten Aufgabe gefunden. Ich hab sin²(x) völlig falsch abgeleitet. Ich hab außerdem nen beispiel gefunden, wo das ganze mit partieller Integration gelöst wird. Ich werde das nochmal probieren.

17.06.2011, 18:33

Mulder

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Zitat:

Original von Mijo
Dann ich das erstmal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \! (1-sin^{2}(x))*cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Diese Idee ist eigentlich gut. Nur solltest du nicht 1-sin²(x)=z substituieren, sondern einfach nur sin(x)=z. Dann wird das viel schöner.

Du hast ja schon selbst erkannt, dass du sin² falsch abgeleitet hast.

Übrigens: Noch eine Alternative wäre die Kenntnis von

$\begin{eqnarray*} \cos^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3 \cos x + \cos (3x) \Big) \end{eqnarray*}$

Und bei diesem Integral

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{1}{x^{2}-x } \, dx \end{eqnarray*}$

... ist Partialbruchzerlegung das Stichwort.

11.07.2011, 13:24

Mijo

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Hey Mulder,

vielen Dank, deine Hilfestellungen zu den Sachen haben mich echt weiter gebracht!

---

Ich bin deutlich besser zurechtgekommen in den letzten Wochen, nur eine Aufgabe aus den alten Klausuren macht mir noch zu schaffen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/4} \! \frac{\sin³(x) }{cos(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Hat irgendjemand einen Tipp? unglücklich

unglücklich

Viele Grüße
Mijo

11.07.2011, 13:32

René Gruber

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Vielleicht bringt dich die Integrandenumformung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin^3(x)}{\cos(x)} = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)} \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$

auf eine passende Idee.

11.07.2011, 13:39

Mijo

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Die Idee hatte ich auch schon, aber dann ergibt sich folgendes mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{cos(\pi/4)} \! \frac{1+u^2}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Nur dann ist bei mir irgendwie Schluss. Ich mein, wenn ich das auseinanderziehe, stecken da die Ableitungen vom log und arctan drin, aber ich komme damit auch nicht weiter.

unglücklich

unglücklich

11.07.2011, 13:41

René Gruber

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Da ist ein Vorzeichen im Zähler falsch. Und ich wüsste nicht, welche herausragenden Probleme es bei der Integration von

$\begin{eqnarray*} -\frac{1-u^2}{u} = \frac{u^2-1}{u} = u-\frac{1}{u} \end{eqnarray*}$

geben soll. unglücklich

unglücklich

11.07.2011, 13:51

Mijo

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Ahhhhhhhhhhhhhh, das Vorzeichen...
Entschuldigung, das war echt ein dämlicher Fehler...

11.07.2011, 13:54

René Gruber

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Das erklärt aber nicht deinen Verweis zum arctan. Dazu musst du dann auch noch Zähler und Nenner verwechselt haben ... sei's drum. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.07.2011, 13:59

Mijo

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Das stimmt, aber es hätte ja sein können, dass sich noch was umdreht.

Wenn ich 1+x² oder ähnliches sehe, geht immer der Arctan-Alarm an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der kommt häufig in Übungsaufgaben vor.

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