hypergeometrische Verteilung

14.06.2011, 07:01

Isabell987

hypergeometrische Verteilung

Guten morgen zusammen,

ich hänge bei einer aufgabe die hypergeometrische Verteilung betreffend:

also in einer Weingummitüte die maximal 20 Weingummis enthalten kann befinden sich zwei rote Fruchtgummis. Zudem weiß man, dass die WSK, bei zehnmaligen zufälligen Auswählen aus der Tüte, geau ein rotes Fruchtgummi zu erhalten 0,5 beträgt. Wie viele Fruchtgummis sind in der Tüte?

also demnach müsste H(N;2;10)

also suchen wir N

aber wie gehts man weiter vor...? muss man wieder irgendwie die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen?

14.06.2011, 09:22

René Gruber

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Ich nehme mal an, du verwendest die Begriffe Frucht- und Weingummi synonym. Ansonsten verstehe ich das Hin- und Her dieser Begriffe in der Aufgabenstellung nicht. unglücklich

Es sind also $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ dieser Wieauchimmer-Gummis in der Tüte, $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ rote und $\begin{eqnarray*} (N-2) \end{eqnarray*}$ nichtrote. Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der ausgewählten roten Gummis ist also - wie du schon richtig gesagt hast - verteilt gemäß $\begin{eqnarray*} H(N;2;10) \end{eqnarray*}$ . Aber warum machst du nicht weiter? Du hast doch die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=1)=0.5 \end{eqnarray*}$ gegeben, damit kannst du doch erstmal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 0.5 = P(X=1) = \frac{\binom{2}{1}\cdot \binom{N-2}{9}}{\binom{N}{10}} = \frac{2\cdot (N-2)!\cdot (N-10)!\cdot 10!}{(N-11)!\cdot 9!\cdot N!} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man rechts prima kürzen...

14.06.2011, 19:06

Isabell987

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ja ich hatte mich in die Gegenwahrscheinlichkeit wahrscheinlich irgendwie verannt..

versteh jetzt nur noch nicht wie ich den Term kürzen kann..

gibts da bei Fakultäten irgendwie nen Trick?

14.06.2011, 19:15

René Gruber

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Zitat:

Original von Isabell987
gibts da bei Fakultäten irgendwie nen Trick?

Kein Trick, nur ganz normales Nachdenken: Wenn man den größten Faktor abspaltet, dann gilt

$\begin{eqnarray*} k! = k\cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Nutzt man das für $\begin{eqnarray*} k=N-10 \end{eqnarray*}$ , dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} (N-10)! = (N-10)\cdot (N-11)!\qquad (a) \end{eqnarray*}$ .

Oder für $\begin{eqnarray*} k=N \end{eqnarray*}$ und anschließend dann auch gleich für $\begin{eqnarray*} k=N-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = N\cdot (N-1)! = N(N-1)\cdot (N-2)! \qquad (b) \end{eqnarray*}$ .

(a) und (b) sollten schon mal hier für dein Kürzungsproblem reichen!

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