Verschoben! Lösung quadratischer Gleichungen

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lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung quadratischer Gleichungen
Meine Frage:
Wieso hat die quadratische Gleichung (x-3)² =0 nur die Zahl 3 als Lösung?

Meine Ideen:
Ich weiß noch nicht mal wie man das herausfinden kann ! Bitte helft mir.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe doch mal auf beiden Seiten die Quadratwurzel, vielleicht wird es dir dann klar!
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

????
also die Gleichung in eine Wurzel setzen?
Dann kommt ja i-wie
strich x-3 strich =0
raus?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst |x-3|=0? Die Striche kann man mit altgr und < schreiben.

Ja, und wann ist ein Betrag 0?
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer reellen zahl, die nicht negativ ist?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du verstehst mich nicht so recht:
Löse mal bitte die Gleichung |a|=0 Die Gleichung hat nur eine Lösung. Welche?

Wenn es dir nicht klar ist, schau dir bitte noch mal eine Definition des Betrags an:
|a| kennzeichnet den Abstand der Zahl a zur Zahl 0 auf dem Zahlenstrahl. Welche Zahl hat den Abstand 0 zur Zahl 0?
 
 
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

0 ?
ja betrag verstehe ich. aber wenn da a steht? dann weiß man das ja nicht?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

a=0 ist richtig! Freude Jetzt ersetze mal a durch x-3. Worauf kommst du dann?


btw: Eine Gleichung der Form |a|=b hat die zwei Lösungen a=b und a=-b. Für b=0 sind die beiden Lösungen identisch.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

3 ! Big Laugh
und wie kann man das erklären?
weil man muss erst die gleichung in eine Wurzel setzen, und dann den betrag. ja?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja:
(x-3)²=0 jetzt ziehst du die Wurzel:
|x-3|=0 Der Betrag einer Zahl ist 0, wenn die Zahl 0 ist (das war meine Frage mit |a|=0):
x-3=0 Und dann ganz normal auflösen.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

man ich bin so dumm.
also wenn ich strich x-3 strich =0 habe dann kann ich in der nächsten zeile einfach x-3=0 schreiben? und dann nach x auflösen?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau!
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

also :

x-3=0 -x
-3 = 0 oder = -x ?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, dass es so lange dauerte, ich war beim Mittagessen:

Wenn du x subtrahierst, dann musst du dass auf beiden Seiten tun, dementsprechend muss es heißen: -3=-x
Jetzt noch mit -1 multiplizieren und du hast es.



Auch wenn ich auf beiden Seiten 3 addiert hätte, anstatt x abzuziehen.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht schlimm smile
Essen muss man ja auch mal! Ich sollte auch mal Mittagessen Big Laugh


Ehm... aber kann man das nicht eigentlich auch noch auf eine andere Weise machen, so mit einsetzen?
z.B (x-3)²=3 ?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

(x-3)²=3 ist aber eine andere Gleichung. Wenn du Werte einsetzt, dann setzt du sie für x ein, d.h. wenn du für x 3 einsetzt, erhältst du (3-3)²=0
dies ist offensichtlich wahr, du weist also, dass x=3 eine Lösung ist.

Der Nachteil daran ist, dass du nie alle Zahlen einsetzen kannst und dir somit nie sicher sein kannst, ob du alle Lösungen hast. Üblicherweise setzt man WErte für x ein, wenn man
a) die Probe machen will, ob die Lösung(en) stimmen oder
b) wenn man eine Wertetabelle erstellen will.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile du hilfst mir wirklich sehr smile
aber jetzt noch eine andere sache Big Laugh
also.. wenn mann erklären soll, warum die gleichungen:

x²-6x+9=0 und x²=6x-9 nur die Läsung 3 haben, macht man das dann genau so mit in wurzel setzen und dann den betrag?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. (Deine beiden Gleichungen sind identisch, ich beziehe mich auf die linke!)
Zur Begründung dessen gibt es zwei Möglichkeiten:
1. du löst die Gleichung nach x auf . Entweder du siehst, dass es sich um ein Binom handelt, du also die 2. Binomische Formel "rückwärts" anwenden kannst, oder du verwendest die pq-Formel. Beide Male kommst du auf lediglich eine Lösung (wenn du richtig gerechnet hast), folglich hat die Gleichung nur eine Lösung. Du begründest das dann damit, dass du die Lösung angibst.

Die 2. Möglichkeit funktioniert auch über die pq-Formel:
Wenn nämlich die Diskriminante (=der Term unter dem Wurzelzeichen) gleich 0 ist, so weist du, dass es nur eine Lösung gibt und sparst dir somit sogar die Angabe einer Lösung.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich nach x auflöse :
x²-6x+9=0 /x
x-6x+9=0 -x
-6x +9 =-x +
ne falsch.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Eben, du darfst nämlich nicht durch x teilen, ohne vorher ausgeschlossen zuhaben, dass x=0 sein könnte!
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

aber was mache ich dann zuerst?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schlage dir jetzt nochmal die Möglichkeiten vor, du machst natürlich nur eine:

1. Du berechnest die Lösungen:
a) mit der 2. binomischen Formel:
x²-6x+9=x²-2*3*x+3²=(x-3)²
(x-3)²=0
Über diese Aufgabe haben wir hier ja schon zu genüge diskutiert.
b) Mit der pq-Formel:
x²-6x+9 --> p=-6 und q=9, also
bzw.



Das kannst du ausrechnen und solltest dann als Ergebnis bekommen: .

2. Du begründest durch Betrachtung der Diskriminante D, dass es nur eine Lösung gibt:
Wie du siehst, entspricht das dem Term, der in der pq-Formel unter dem Wurzelzeichen steht. Nun gibt es einen Satz, der besagt:
Wenn D<0, hat die quadratische Gleichung keine Lösungen
Wenn D=0, hat die quadratische Gleichung eine Lösung
Wenn D>0, hat die quadratische Gleichung 2 Lösungen.

Durch einsetzten von p und q in die Diskriminante erhälst du D=0 und damit, dass die Gleichung nur 1 Lösung hat. (Die du dann jedoch noch nicht kennst).

edit 1&2: ein paar Schreibfehler verbessert.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt man denn auf 2*3*x ?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

6=2*3, also -6x=-2*3*x

Diese Umformulierung erleichtert es dir zu erkennen, dass dort der mittlere Summand der 2. Binomischen Formel, nämlich -2ab, dahintersteckt.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

mh. egal. ich verstehe immer noch nicht wie ich anfangen soll aber schon ok.
ich habe schon genug genervt.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Nix gibt's. Wo hakt es denn? Im Ansatz?

Es ist egal, welchen Weg du nimmst. Es gibt hier viele verschiedene Möglichkeiten, ich wolte dir blos ein paar davon aufzeigen.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

ja also wenn ich jetzt die binomische formel nehme.
wie fange ich dann an? das vertsehe ich nicht.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Die (ausgeklammerte)2. binomische Formel hat die Struktur a²-2ab+b².
Dein Term hat die Form x²-6x+9. Ich schreibe das jetzt mal untereinander:
a²-2ab+b²
x²- 6x +9

Dies lässt folgendes Vermuten:
a²=x² und damit a=x
b²=9 und damit b=3
2ab=6x???

Wir können die oberen beiden Dinge voraussetzen, dann ist
2ab=2*x*3=6x. Damit sitmmen alle Summaden überein. Der nächst Schritt:
a²-2ab+b²=(a-b)² Dies ist die 2. Binomische Formel.
Nun setzen wir a=x und b=3 und erhalten
x²-6x+9=(x-3)²

Das meine ich mit "die 2. binomische Formel rückwärts anwenden". Wenn du noch Fragen dazu hast, frag ruhig.
lalelu14789 Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das ergebnis: (x-3)² ?
und wie kann man das erklären? ich meine ohne die rechnung?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ohne rechnen wirst du nicht sagen können, wieviele Lösungen die Gleichung (x-3)²=0 hat (oder irgendeine andere quadratische Gleichung). Du weist allerhöchstens, dass sie entweder 0 oder 1 oder 2 Lösungen hat, mehr können es nie werden.

Ansonsten habe ich dir oben genügend Verfahren gezeigt, mit denen du die Anzahl der Lösungen herausfinden kannst.
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