Verschoben! Integralgrenzen aufstellen

14.06.2011, 13:41

stefanz.

Integralgrenzen aufstellen

Hallo

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Vielleich könnt ihr mir weiterhelfen.

Ich möchte den Flächeninhalt berechnen der von diesen beiden Kurven eingeschlossen ist.

$\begin{eqnarray*} k1: y=-x^{2}+3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k2: y=-2x \end{eqnarray*}$

dazu habe ich die Fläche in die Flächen A1 oberhalb der x-Achse und die Fläche A2 unterhalb der x-Achse eingeteilt.

für $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ habe ich feste Grenzen gewählt

A1: $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$

A2: $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 5 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ habe ich diese Grenzen gewählt:

A1: $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq -x^{2}+3x \end{eqnarray*}$

A2: $\begin{eqnarray*} -2x\leq y\leq 0 \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung sollte das Ergebnis 125/6 sein. Ich komme allerdings nur auf 74/3.
Ich schätze mal das ich die Grenzen von dy falsch aufgestellt habe.

14.06.2011, 13:52

mYthos

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In diesem Fall gibt es nur die x-Grenzen! Diese sind durch die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmt.

Und: Wesentlich einfacher geht es, wenn du die Differenzfunktion (!) in diesen Grenzen integrierst. Damit (--> Absolutbetrag) ergibt sich die von beiden eingeschlossene Fläche direkt.

mY+

14.06.2011, 14:17

stefanz.

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wieso gibt es hier nur die x-Grenzen? das verstehe ich nicht ganz

14.06.2011, 15:29

mYthos

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Weil die Fläche, die der Graph von f(x) in den Grenzen von x1 und x2 mit der x-Achse einschließt, einfach

$\begin{eqnarray*} A = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \dd x \end{eqnarray*}$

beträgt. Das sollte dir eigentlich schon bekannt sein. WO willst du denn y-Grenzen einsetzen?? Diese hätten erst einen Sinn, wenn es sich um die Fläche mit der y-Achse handeln würde (dazu muss dann die Funktion entsprechend umgeformt werden).

mY+

14.06.2011, 20:13

stefanz.

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dann würde ich meine Grenzen also für die obere Fläche von 0 bis 3 und für die untere von 0 bis 5 laufen lassen?

14.06.2011, 20:51

mYthos

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Weshalb bist du so beratungsresistent?

Zitat:

Und: Wesentlich einfacher geht es, wenn du die Differenzfunktion (!) in diesen Grenzen integrierst. Damit (--> Absolutbetrag) ergibt sich die von beiden eingeschlossene Fläche direkt.

Ausserdem würdest du mit deiner Methode noch nicht die von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche erhalten.

mY+

14.06.2011, 21:00

stefanz.

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In der Aufgabenstellung steht das wir ein geeignetes Doppelintegral finden sollen, von daher versuch ich es auf dem Wege. Ich hab bei dem Thema noch nicht so richtig den Überblick von daher verstehe ich auch nicht so ganz was du meinst.

14.06.2011, 21:14

mYthos

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Mit einem Doppelintegral kann ich dir hier leider nicht dienen, was soll das Ganze?
Aber vielleicht weiss jemand anderer etwas dazu.

Normalerweise rechnet man es jedenfalls so:

$\begin{eqnarray*} A = \left | \int_{x_1}^{x_2} [f(x) - g(x)] \dd x \right | = \left | \int_0^5 (-x^2 + 5x) \dd x \right | = \frac {125} 6 \end{eqnarray*}$

Und aus Maus.

mY+

14.06.2011, 21:32

stefanz.

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Mit der Differenz der beiden Funktionen sollten wir es nicht rechnen.
Ich werd morgen in der Übung nochmal nachfragen und ggf hier berichten.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe und Gedult smile

14.06.2011, 21:44

mYthos

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Ok, das wäre wirklich interessant.
Ich habe bisher noch nicht gehört, dass man so eine einfache Fläche nicht auf dem von mir beschriebenen Weg berechnen darf.
Aber man kann ja immer noch etwas lernen ...

mY+

15.06.2011, 16:36

stefanz.

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So ich hab eben bei der Übung nochmal nachgefragt. Mein Fehler war wohl das ich das Integral gar nicht aufteilen muss wenn ich für dx feste Grenzen wähle, da ich ja nicht über eine Ecke integriere, das war mir nicht bewusst gewesen.

Hab mich gerade nochmal rangesetzt

$\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! \int_{-2x}^{-x^{2}+3x} \! 1 \, dy \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{125}{6} \end{eqnarray*}$

hat also funktioniert.

Man hätte es auch nach deiner Methode machen können, aber in der Aufgabenstellung stand das man ein geeignetes Doppelintegral finden sollte, das hätte ich vielleicht in meinem eröffnungspost erwähnen sollen.

15.06.2011, 23:35

mYthos

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Was natürlich exakt auf das Integral der Differenzfunktion hinausläuft.
Aber klar, so ist's ein Doppelintegral, auch wenn dieser Weg etwas unkonventionell ist.

Danke.

mY+

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