Varianz berechnen

14.06.2011, 14:03	Florian Goldeisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz berechnen Meine Frage: Hallo folgende Aufgabe: Es gibt 10.000 Autos, 9000 rote und 1000 schwarze. die "roten" haben eine Unfallwahrscheinlichkeit von 1/1000, die "schwarzen" von 11/1000. Die Zufallsvariable R bzw S gebe die Anzahl Unfälle an, die Gesamt-Zahl sei U. Es sollen Erwartungswert von U und Varianz von U berechnet werden. Meine Ideen: Zunächst der Erwartungswert: $\begin{eqnarray} E[U] = E[R] + E[S] = \sum\limits_{k=1}^{9000} \frac{1}{1000} + \sum\limits_{k=1}^{1000} \frac{11}{1000} = 9 + 11 = 20 \end{eqnarray}$ Soweit so "gut", schaut in Anbetracht der Wahrscheinlichkeit auch realistisch aus. Nun gilt für die Varianz lt. unserer Unterlagen: $\begin{eqnarray} Var[U] = E[(U-\mu)²] \text{ mit } \mu = E[U] \end{eqnarray}$ ferner: $\begin{eqnarray} Var[U] = E[(U-E[U])²] = \sum\limits_{i=1}^{\|U\|} (U_{i} - E[U])^2 Pr[U_{i}] \end{eqnarray*}$ So, nun gelingt es uns immer die Varianz korrekt zu berechnen, wenn wir für das Ui einen konkreten Zahlen Wert einsetzen "könnten", z.b. bei Würfeln die Augen, oder bei Zahlen deren "Werte". Wir haben aber "hier" keinen Plan, was wir Einsetzen sollen. Verwenden wir "1" für einen Unfall, und für Pr die (gemittelte) Unfallwahrscheinlichkeit von 1/500, dann ergibt das für die Varianz 7220... Any Tipps - anyone?
14.06.2011, 14:11	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht jede Formel ist gleich gut geeignet, vor allem dann nicht, wenn man mit den Bestimmungstücken wie $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ nichts anzufangen weiß. Hier nutzt man doch besser, dass die Unfälle voneinander unabhängig passieren, d.h. es gilt für $\begin{eqnarray} U=R+S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(U) = \operatorname{var}(R)+\operatorname{var}(S) \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} R\sim B\left(9000,\frac{1}{1000}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S\sim B\left(1000,\frac{11}{1000}\right) \end{eqnarray}$ , womit eigentlich alles gesagt ist.
14.06.2011, 14:15	Florian Goldeisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Daran dachten wir auch bereits. Allerdings benötigen wir dafür - wie du sagst - Var(R) und Var(S). Und da ergibt sich das selbe Problem. Was ist "B" bei dir? Bisher hatten wir nur obige Formel für die Berechnung der Varianz...
14.06.2011, 14:25	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
B wie Binomialverteilung. Wird, glaube ich, in der Schule recht ausführlich behandelt.

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