Lineare Abhängigkeit

14.06.2011, 14:47

Pascal95

Lineare Abhängigkeit

Hallo,

ich habe eine Frage zur Definition der Linearen Abhängigkeit von Vektoren:

Zitat:

Definition. Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn sich mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Es sind $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ linear abhängig. Dann ist mir aber aufgefallen, dass sich alle drei Vektoren durch Linearkombination der jeweils anderen darstellen lassen.
Es lässt sich $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ durch Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ darstellen: $\begin{eqnarray*} \vec a=\mu \vec b+\lambda \vec c \end{eqnarray*}$ .
Dann aber auch: $\begin{eqnarray*} \vec b=\frac1{\mu}\vec a-\frac{\lambda}{\mu} \vec c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c=\frac1{\lambda}\vec a-\frac{\mu}{\lambda} \vec b \end{eqnarray*}$ .

Also lassen sich tatsächlich die anderen Vektoren auch durch Linearkombination darstellen.

Das geht aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} \mu,\lambda\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit richtig?

Danke im Voraus. smile

14.06.2011, 15:20

mYthos

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RE: Lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von Pascal95
...
Also lassen sich tatsächlich die anderen Vektoren auch durch Linearkombination darstellen.
...

Gerade dies eben nicht immer. Deswegen heisst es in dem Satz auch " ... mindestens einer ...".

Beispiel:

Geg.: $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b = r \cdot \vec a, \vec c \ \ (r \neq 0) \end{eqnarray*}$

Hier sind $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ kollinear, aber nicht mit $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ . Somit lassen sich $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ mittels (nicht trivialer) LK, aber $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ nicht als LK (von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ ) darstellen.

mY+

14.06.2011, 15:32

Pascal95

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Aha,

Zitat:

Somit lassen sich $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ mittels (nicht trivialer) LK darstellen.

damit meinst du $\begin{eqnarray*} \vec b = r \cdot \vec a \end{eqnarray*}$ und es soll noch gelten, dass $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ nicht kollinear zu $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ ) ist.

Also sind $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b,\vec c \end{eqnarray*}$ linear abhängig, weil $\begin{eqnarray*} \vec b=r\vec a+0\vec c \end{eqnarray*}$ (*) (nach der Definition: es gibt mindestens einen Vektor, der sich als LK der anderen beiden darstellen lässt). Allerdings gibt es kein $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} s\vec a=\vec c \end{eqnarray*}$ .

Nun verstehe ich auch, wie das mit

Zitat:

Original von Pascal95
Das geht aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} \mu,\lambda\neq0 \end{eqnarray*}$ .

zusammenhängt.

In diesem Fall ist einer der Faktoren Null und zwar siehe (*) oben.

Edit: Und mit "nicht trivial" beziehst du dich auf den Faktor $\begin{eqnarray*} r\neq0 \end{eqnarray*}$ , der ungleich 0 ist. (?)

Danke sehr.

14.06.2011, 16:20

mYthos

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Ja, so sehe ich das alles auch. In einer nicht trivialen Relation sind nicht alle Multiplikatoren Null.

mY+

14.06.2011, 16:29

Pascal95

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Ok, danke sehr.

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