Differentialrechnung von funktionen von mehreren Variablen

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Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung von funktionen von mehreren Variablen
Zu Bestimmen ist die Lage und Art der Relativen Extrema
Von folgenden Gleichungen:

z=2x2+3xy+2y2-5x-2y+5
Und

z=e-(x2+y2)(x2+2y2)

Ich hoffe das mir jemand Helfen kann

alle Lösungsschritte Bitte komplett und ausführlich, da ich sie ja nachvollziehen muss

Danke

Kontrollator
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

ähm, 2x2? heißt das 2x hoch 2 oder wie?
hoch kannst du schreiben mit ^2 also links oben unter Escape die taste, damit man das von mal auch unterscheiden kann.

dann wär das erste

z = 2x^2 + 3xy + 2y^2 - 5x - 2y + 5

und das 2.

z = e - ( x^2 + y^2 ) ( x^2 + 2y^2)

so, jetzt mal anguggen Augenzwinkern

scheint wirklich höhere mathematik zu sein...
wenn man das veranschaulichen will braucht man so nen dreidimensionalen raum oder...

helfen kann ich leider auch net wirklich, ist anscheinend wirklich noch zu hoch für die 11.klasse :P traurig
 
 
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

öch Mensch und ich dachte hier hätte jemand ahnung unglücklich

wo sind denn die ganzen Mathecracks?????? verwirrt

Naja mal Warten vielleicht kommt ja noch einer vorbei Hilfe Hilfe Hilfe Hilfe Hilfe

Dann hier noch mal die beiden Aufgaben

z = 2x^2 + 3xy + 2y^2 - 5x - 2y + 5
Lösung: Min (2,-1,1)

z=e^-(x^2 + y^2)(x^2 + 2y^2)
Lösung: keine Extrema

Die Lösungen hab ich zwar aber wie man da hinkommt weiss ich nicht und eine Veranschaulichung ist auch nicht notwendig, ich brauche nur den genauen Rechenweg

Vielleicht erbarmt sich ja noch jemand

Kontrollator
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

das board hat leider (noch) nicht so viele user, und die sind auch nicht alle ständig online.

aber ich hab ein paar dinge gefunden, die dich interessieren bzw. dich weiterbringen könnten:



wobei die 2. glaub ich auf den ersten blick am besten und "einfachsten" ausschaut.
damit solltest du das eigentlich verstehen smile
jama Auf diesen Beitrag antworten »

würde bei der antwortsuche eher für den dritten link tendieren. die frage, die du gestellt hast, ist echt mal höhere mathematik. mehr als darauf, dass man vielleicht auch was mit matrizen anstellen kann, bin ich nicht gekommen. frage momentan aber überall nach dem genauen rechenweg. werd den rechenweg dann sofort posten, es sei denn jemand kommt mir hier zuvor. notfalls setz ich mich mit den anleitungen, die thomas gepostet hat, selbst an die aufgabe Klo

[edit]

das hab ich in erfahrung gebracht:

zur 1. gleichung....

z = 2x²+3xy+2y²-5x-2y+5
===============
Die Ableitungen sind:
zx = 4x+3y-5
zy = 3x+4y-2
zxx = 4
zxy = 3
zyy = 4

Kritische punkte ergeben sich aus dem Gleichungssystem:
zx = 0
zy = 0
=====
Nur ine einzige Lösung: x=2, y = -1
==============
Hesse-Matrix:
4 3
3 4

Diese ist positiv definit: also:
im Punkt (x=2, y=-1, z=1) liegt ein lokales Minimum vor


zur 2. gleichung..

es gibt ein extremum!

z(x,y) hat ein lokales Maximum
im Punkt (0, 0, 1)


hast du vielleicht die gleichung falsch angegeben?
muss da statt "z = ...." "f(x,y,z) = ...." hin?

gruß,

jama
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
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Nein tut mir leid die gleichung die ich angegeben habe steht so in meinem Übungsheft.

Nun gut ich bin noch nicht wirklich schlauer aber das kann ja noch werden, hab das vertrauen in dieses Board und ihre user noch nicht aufgegeben.

Und bevor ihr euch zur ruhe setzt schiebe ich lieber noch mal ein bisschen Holz nach

Gegeben ist die Funktion:
(1) z=f(x,y)=x^2/9 + y^2/9 +2

Und die Nebenbedingung:
(2) (x+2)^2 + (y-2)^2=32

Zu Bestimmen sind die Extrempunkte von (1) unter der Nebenbedingung (2)

Bin noch nicht fertig Big Laugh

Als nächstes folgt Ausgleichsrechnung:

folgende Meßreihe ist gegeben:

I 0,0 2,8 4,9 7,0 9,2 11,3 13,2 15,0
U 12,1 11,0 10,5 8,7 7,0 6,5 9,8 4,3

I 16,9 18,8 20,5 21,7
U 4,1 3,5 1,9 1,6

Es gilt der zusammenhang: U(I)=E - R*I
(*= mal)
Bestimmen sie die lineare Ausgleichsfunktion

Es soll gar nicht so schwer sein hab ich mir sagen lassen :P

Wen's interessiert: I ist die Stromstärke und U ist die s
Spannung, ich verrate die Lösungen diesmal nicht, mal sehen wer drauf kommt. Augenzwinkern

Gruß Kontrollator
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

[offtopic]
@Jama: wie kann man das hoch 2 nochmal so stilvoll schreiben wie dus gemacht hast? das geht ja auch mit hoch 3 oder?
achja, habs gefunden bin ich doof
AltGr+2 = ²
AltGr+3 = ³
[/offtopic]
jama Auf diesen Beitrag antworten »

folgendes wurde mir zugeflüstert:

Bei I = 13.2 liegt vermutlich ein Tippfehler vor. Diesem Wert ist ev. nicht die Spannung von 9.8, sondern 5.8 V zugeordnet.

Korrigiert man die Messreihe so, dann ergibt sich als Ausgleichsgerade:

U = - 0.49365 * I + 12.22944

Berechnung mit Excel, geht aber auch auf Taschenrechner.




bei deiner ausgleichsrechnung handelt es sich um eine "lineare regression". folgendes habe ich dazu gefunden:


Bei der linearen Regression versucht man, eine Gerade y = m*x + b durch einen gegebenen Punkthaufen so zu legen, dass die Quadratesumme der Verbesserungen an den Ordinatenwerten der gegebenen Punkte minimal wird.
(Der Ausdruck "Verbesserungen" stammt von Gauss).

Bei der quadratischen Regression sucht man an Stelle der Regressionsgeraden eine quadratische Funktion der Form

y = a*x2 + b*x + c

Die Koeffizienten a, b und c sind nun wiederum so zu bestimmen, dass die Quadratesumme der Verbesserungen minimal wird (genau gleich wie bei der linearen Regression).
Für jeden Punkt ist eine so genannte "Verbesserungsgleichung" aufzustellen.

Dann ist zu bilden
v1*v1 + v2*v2 + .... vn*vn = [vv]
[..] steht für Summe, Gauss'sche Klammer

Das Minimum erhält man durch Ableiten von [vv].

Dies führt letztlich auf 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a, b und c, die zu lösen sind.
(Nach Gauss: so genannte Normalgleichungen)

Durch 3 Punkte ist ein Polynom 2. Grades eindeutig bestimmt. Mehr als 3 Punkte führen zu Widersprüchen, die eben durch die Methode der kleinsten Quadrate "ausgeglichen" werden.

Die Berechnung gibt etwas Arbeit. In der Praxis rechnet man üblicherweise mit Matrizen.


zur grafik: In der Grafik habe ich die Koeffizienten, die nach der M.d.kl.Q. ja bestimmt werden sollen, zum voraus gewählt, um überhaupt etwas zeichnen zu können:

a = - 0.1
b = 3
c = - 6

Regressionsparabel:
y = - 0.1*x2 + 3*x - 6
jama Auf diesen Beitrag antworten »

zu deiner aufgabe:
Gegeben ist die Funktion:
(1) z=f(x,y)=x^2/9 + y^2/9 +2

Und die Nebenbedingung:
(2) (x+2)^2 + (y-2)^2=32

Zu Bestimmen sind die Extrempunkte von (1) unter der Nebenbedingung (2)


das geht mit dem Lagrangeschen Ansatz.

f(x,y)= x²/9+y²/9 + 2
NB: g= (x+2)²+(y-2)²-32=0

Lagrange :
in Komponentenschreibweise:
2x/9 = 2x + 4
2y/9 = 2y - 4
und als 3. Gleichung die NB: (x+2)² + (y-2)² - 32 = 0

Aus diesen 3 Gleichungen ermittelt man die kritischen Punkte (auch stationäre Punkte genannt):
1. x=2, y= -2, L=1/18 , f(2,-2)=26/9
2. x= -6, y= 6, L=1/6, f(-6,6) = 10

Die gesuchten Extrempunkte sind:
E1(2, -2, 26/9) und E2(-6, 6, 10)


vielen dank an "Fern" Gott
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Naja haste ja auch lange genug gebrauchtBig Laugh

Zu den Aufgaben:

Lösung der Aufgabe mit NB ist richtig, der vollständigkeit halber muss man aber sagen das es sich bei E1 um ein Minimum und bei E2 um ein Maximum handelt.

Zur Ausgleichsrechnung:
Tja vertippt habe ich mich nicht so steht die aufgabe in meinem Übungsheft (Bibel) Gott
die lösung wäre danach: U=12,566V-0,488 Ohm*I unglücklich

Tja alles nicht so einfachBig Laugh kannst ja nochmal nachrechnen (lassen) 8)

bis heute abend fallen mir bestimmt noch ein paar neue Aufgaben ein

Kontrollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja .. das studentenleben, wo man noch morgens um 8, während normale leute schon mindestens 2 stunden gearbeitet haben, die foren unsicher machen kann. ab oktober bin ich dann auch so einer Tanzen

ich bin mal davon ausgegangen, dass du die extrema noch selbst bestimmen kannst Augenzwinkern

das mit der ausgleichsrechnung ..... hm, also ich kann es ja ausrechnen (lassen), aber da glaube ich lieber deinem übungsheft nicht :rolleyes:

dann bin ich ja mal auf deine nächsten aufgaben gespannt smile )
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist die Funktion:

z=cox x - Sin y + 1/2 (x+y)-3pi/4 mit X € [0;pi],y €[0;pi]

a) Bestimmen sie die relativen Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion im Betrachteten Definitionsbereich
b) Untersuchen sie, ob die gegebene Funktion unter gleichzeitiger Berücksichtigung der Nebenbedingung x+y-3pi/2=0 Extremwerte im obigen Definitionsbereich hat

Tja leider wollte ich noch einen kleinen Leckerbissen von meinem Mitbewohner dem Elektrotechniker presentieren aber leider weiss ich nicht wie man die ganzen Formelzeichen einbindet die man in der Mathematik so braucht, z.B. pi, integralzeichen etc.
Ich denke du wirst mir sicher sagen können wie man das macht Hilfe

Kontrollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

und "z" ist schon wieder eine variable? falls ja z € R ?

wenn du ms office hast musst du unter "office tools" "Equitation Editor" zusätzlich installieren. danach kannst du in word über "einfügen" -> "objekt" -> "Microsoft Equtiation" alle beliebigen formeln schreiben.
davon kannst du dir nen screenshot machen und das dann posten. wie es einfacher geht, weiß ich adhoc auch noch nicht.
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

z € R ?????? verwirrt
woher soll ich denn das wissen, hab doch von mathe keine ahnung. Na klar ist z eine variable muss sie ja da wir uns im 3D Raum bewegen
Im Zweifelsfall würde ich immer ja sagen und schauen was bei rauskommt.

Es war mir übrigens unmöglich ein Screenshot einzufügen. Hab noch versucht eine datei anzuhängen, aber kam nicht unter die 20 kb, auch nicht als zip file. Kannst mir ja erzählen wie du das angestellt hast traurig traurig

Kontrollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

notfalls schickste mir das screenshot per mail und ich lad es einfach hoch.

scheint aber ne riiiesige aufgabe zu sein smile
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

mail kommt sofort

kontollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

im anhang ist die formel ... hoffe es klappt Buschmann
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

na spitze erzähl mir mal wie du das hinbekomen hast??? verwirrt verwirrt verwirrt

Kontrollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

das screenshot an sich?
einfach auf die taste "druck" drücken, screenie in ein bildbearbeitungsprogramm einfügen und das wesentliche (die formel) rausschneiden. insgesamt war die datei 2kb groß smile deswegen gab es auch keine probs mit dem hochladen im board Buschmann
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

na gut dann gib dir mal jetzt die ehre und mach dich ans ausrechnenBig Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Kontrollator
jama Auf diesen Beitrag antworten »

so ... verwirrt
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

wie kriegst du die symbole usw. hin? verwirrt
jama Auf diesen Beitrag antworten »

haste das mit dem office tool versucht?
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Office tool?

ich hab nur OpenOffice... und da hab ich noch net nachgeschaut *schäm*

am besten wäre ein programm extra zum schreiben von solchen Formeln... smile

gibts sowas?
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Glückwunsch 8)
Hätte nicht gedacht das jemand so schnell auf die Lösung kommt.
Auf die Frage ob es ein extra Programm zum schreiben von Formeln gibt???

Ja natürlich schaut mal hier Mathtype
Das Programm ist sehr komfortabel weil man den ganzen Text in einem Dokument schreiben kann und nicht ständig wechseln muss :] alles klar smile

Kontrollator Wink
DeGT Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür gibt es OpenOffice Math.
ist ganz praktisch und hat auch einen guten Funktionsumfang, hab allerdings nicht viel damit gearbeitet.
Tanzen
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, dieses Mathtype ist aber Shareware, schade...

aber wenn das in Openoffice integriert ist, brauch ich das andere ja nicht, danke an alle :] smile
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Hahahahahahaha Shareware hahahahahahahaBig Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh
Ich lach mich tot Tanzen
Ich benutze mathtype schon seit anderthalb jahren, ohne funktionseinbußen. Es gibt firmen es mit dem sharewaregedanken nicht so genau nehmen, macht nichts, tu ich ebenfalls nicht :P

Kontrollator Wink
DeGT Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt aber auch Leute, die sowas respektieren und versuchn, Software legal zu benutzen.
manche eben nicht... X(
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht illegal!!!!! traurig
Ehrlich gesagt weiss ich gar nicht ob Mathtype in der registrierten Version mehr Funktionen hat, die die es in der shareware-version hat reichen mir jedenfalls völlig aus, kann damit alle Formeln schreiben. Es steht zwar da das man sich nach 30 Tagen registrieren soll, aber ansonsten passiert nichts. Nicht meine Schuld wenn das programm weiterläuft.....alles klar? :]

Kontrollator Wink
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das programm nichts macht, wenn die 30 tage abgelaufen sind ... ist es echt mal egal. finde ich jedenfalls :P

aber um zum thema zurück zu kommen: war doch klar, dass du gaaanz schnell den richtigen lösungsweg kriegst Buschmann
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema
a) Interpretieren sie (1) und (2) geometrisch (jede Beziehung für sich allein) im R³
b) Interpretieren sie (1) zusammen mit der Nebenbedingung (2) geometrisch.
c) Bestimmen sie die Extrempunkte von (1).
d) Bestimmen sie die Extrempunkte von (1) unter der Nebenbedingung (2). Nutzen sie zur Festlegung der Art des Extremums die Geometrische Interpretation.
e) Geben die die prinzipielle Verfahrensweise beim Lösen der Extremwertaufgabe d) über eine Funktion mit einer unabhängigen Variablen an. (ohne Berechnung)

hmmm hat wohl nicht ganz so geklappt wie ich mir das vorgestellt habe. Wenn ich es zu stark verkleinere kann man es nicht mehr lesen und wenn ich es zu groß wähle wird es größer als 20 kb.
@jama: must mal schauen,wenn du es nicht lesen kannst schicke ich dir die Aufgabe per Mail

P.S. Sag mal wie kann man noch etwas unter das eingefügte Bild Schreiben?
jama Auf diesen Beitrag antworten »

also lesen kann ich die aufgabe schon noch smile

wenn du das bild irgendwo hochlädst und dann die funktion benutzt, kannst du auch unter dem bild beliebig viel schreiben. beim anhang geht das glaube ich nicht traurig

ich mach mich mal an deine aufgabe verwirrt

übrigens ... verkleinern kannst du das bild, indem du in einem bildeditor das wesentliche einfach "rausschneidest" Buschmann
jama Auf diesen Beitrag antworten »

soooo Ansage

a) f(x,y) ist ein Paraboloid:



die Nebenbedingung ist ein Kreis in der x-y-Ebene.

b) Zusammen:



der blaue Kreis liegt in der x-y-Ebene
die schwarze Ellipse ist die Projektion dieses Kreises auf das Paraboloid in z-Richtung.
Alle Punkte der schwarzen Ellipse genügen der Funktion f(x,y) und der Nebenbedingung.

c) Der Extrempunkt von f(x,y) allein ist der tiefste Punkt des Paraboloids.

d) Unter Berücksichtigung der NB ergeben sich zwei Extrempunkte: der höchste und der tiefste Punkt der schwarzen Ellipse.

e) Prinzipiell liegt ein Extrempunkt einer Funktion einer Variablen immer dort wo die Ableitung (nach dieser Variablen) gleich null ist.

thx 2 "Fern" Wink Gott
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz toll wie du das immer machst Jama, du solltest meine Mathe klausur schreiben. Vielleicht poste ich dir mal ne fette chemie Aufgabe, die schaffst du bestimmt auch noch
Ansonsten weiss ich nicht was ich dazu sagen soll
Tanzen Hilfe verwirrt 8) traurig geschockt :] unglücklich smile ) X( smile :P Augenzwinkern :rolleyes: Gott Buschmann Mit Zunge Wink Prost :spam: Willkommen

na gut ich bleibe bei Gott

Kontrollator Wink
jama Auf diesen Beitrag antworten »

chemie ist auch cool! kannst ja ein chemie thread im off topic bereich aufmachen und deine klausur posten 8)

gruß,

jama
jama Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialrechnung von funktionen von mehreren Variablen
Zitat:
Original von Kontrollator
Zu Bestimmen ist die Lage und Art der Relativen Extrema
Von folgenden Gleichungen:

z=2x2+3xy+2y2-5x-2y+5
Und

z=e-(x2+y2)(x2+2y2)

Ich hoffe das mir jemand Helfen kann

alle Lösungsschritte Bitte komplett und ausführlich, da ich sie ja nachvollziehen muss

Danke

Kontrollator


auf wunsch von kontri, stell ich diese aufgaben nochmals zur erklärung frei! wer das gut erklären kann -> bitte vor smile
jama Auf diesen Beitrag antworten »

zur ersten gleichung:

z = 2x²+3xy+2y²-5x-2y+5
===============
Die partiellen Ableitungen sind:

zx = 4x+3y-5
die einzelnen schritte:
2x² -> 4x
3xy -> 3y
2y² -> 0
-5x -> -5
-2y -> 0
5 -> 0

zy = 3x+4y-2
die einzelnen schritte:
2x² -> 0
3xy -> 3x
2y² -> 4y
-5x -> 0
-2y -> -2
5 -> 0

zxx = 4
zxy = 3
zyy = 4
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