Herleitung des Kosinussatzes

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Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Kosinussatzes
Kennt jemand die Herleitung des Kosinussatzes??? Und kann mir vielleicht einen Tipp geben??? Den Satz kenn ich natürlich, weiß aber nicht, wie ich den Herleiten soll.....
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hab hier was für dich gefunden:

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen...eck%20SODTL.pdf

ab Seite 11 Augenzwinkern
 
 
Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »

schade, das ist es leider nicht, denn wir haben nur 3 Seiten gegeben....und nicht einen Winkel....aber ich werd mich da mal noch ein bisschen durchklicken, vielleicht finde ich ja noch etwas....danke auf jeden Fall schonmal....
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du drei Seiten kennst, dann setze einfach in den Kosinussatz ein.
c²=a²+b²+2ab*cos(gamma)
Du kannst nun die Gleichung nach cos(gamma) auflösen, und gamma berechnen, da alles andere bekannt ist.
Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »

haha...ich soll ihn ja herleiten, aber ich hab es schon im Netz gefunden....trotzdem danke....
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

War auf meiner Seite nicht auch ne Herleitung? verwirrt
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...das haben wir mal gemacht, wenn ich mich jetzt nicht irre...
geht das nicht über Vektoren? Oder war das der Beweis? verwirrt

keine Ahnung mehr Augenzwinkern

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pejosh
haha...ich soll ihn ja herleiten, aber ich hab es schon im Netz gefunden....trotzdem danke....


was sollst du herleiten? die seiten? den winkel? alles geht nicht Augenzwinkern
Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »

@thomas: ja, da war eine Herleitung....allerdings für den Fall, dass 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.....
Wir hatten allerdings "nur" die 3 Seiten gegeben.....falls jemand noch an der Lösung interessiert sein sollte, kann ich sie ja auch hier abtippen....
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur einen Kosinussatz. Diesen kannst du aber für beide Fälle verwenden. Sobald du
c²=a²+b²-2ab*cos(gamma)
hergeleitet hast, kannst du es für alles verwenden. Auch für den Fall, dass du drei Seiten gegeben hast. Bei der Herleitung geht man nicht davon aus, dass man etwas kennt, sondern dass bestimmte Beziehungen gelten. Auf das, was man kennt kommt man erst nachher beim Einsetzen zu sprechen.
Pejosh Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung lautete aber wörtlich: Leite den Kosinussatz mit drei gegebenen Seiten her. Und dies geht auch, sie läuft nur etwas anders ab.....Natürlich stellt man nur Beziehungen her.....aber wir solten Beziehungen herstellen, die nur unter "Bekannten" ind.....
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Typische Schulaufgabe: Man kann nie den kürzesten Weg verwenden, weil man dabei angeblich nichts lernt. Hab ich nicht wissen können.
benno_china Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas
Hab hier was für dich gefunden:

http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen...eck%20SODTL.pdf

ab Seite 11 Augenzwinkern



wäre schön wenn man das auch drucken könnte
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Warum, geht das nicht drucken?

Gruß,
Thomas
Polarfuchs Auf diesen Beitrag antworten »

Über die Vektorrechnung:

Die Bezeichungen im Dreieck seien wie gewohnt (c als Grundseite).

Es sei

a=b+c oder c=a-b.

Wir bilden das Skalarprodukt von c mit sich selbst:

<c,c>=c*c=(a-b)(a-b)

|c|^2=a*a-a*b-b*a+b*b

|c|^2=|a|^2+|b|^2-2a*b

|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|*cos(gamma)
------------------------------------


Polarfuchs
stoppl15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung des Kosinussatzes
Den Kosinussatz leitet man mit dem Höhensatz und den kathetensätzen her:
a²=n²+q²=
= p*(c-p)+(c-p)²=
= c*p-p²+c²-2cp+p²=
= b²+c²-2cp=

a²=b²+c²-2cb*cos (alpha)

Kathetensätze: a²=c*p
b²=c*q

Höhensatz: h²=p*q
(q=c-p)
(p=b*cos alpha)

Hoffe das hilft dir!!!
lg stoppl
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

ein frage hätte ich zu deiner herleitung mit dem höhensatz...
da ich das auch grade machn bzw. nachvollziehen muss is mir was aufgefallen wo ich nihc schlau drauß werde:

[Quote=stoppl15]
wie kommst du von
= c*p-p²+c²-2cp+p²=
nach
= b²+c²-2cp=
[/quote]
?

-p2+p² hebt sich auf(is klar), dann steht da noch: c*p+c²-2cp
und nun setzt du b²=c*p und das is doch falsch, da a²=c*p und b²=c*q ist, wie der kathetensatz das halt sagt.

ansich is die herleitung gradezu optimal für meine aufgabe, wenn du mal schauen könntest, wie man ohne fehler Augenzwinkern zur herleitung des cosinussatzes kommst
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Herleitung oben sieht zwar nett aus, ist aber falsch: stoppl15 wendet die nur im rechtwinkligen Dreieck gültigen Höhen- und Kathetensätze auf das allgemeine Dreieck ABC an, und vertauscht an einer Stelle dann noch was (wie du richtig bemerkt hast). Aber der Beweis ist durch kleine Änderungen prinzipiell nicht zu retten.

stoppl15 wird's vermutlich nicht mehr korrigieren - schau mal auf das Alter des Threads.

Einen korrekten Beweis findet du hier: [Workshop] Beweise der Trigonometrie
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

könnte man bei einem allgemeinem dreieck, welches man durch das einzeichnen einer höhe und den somit entstehenden 2 rechtwinligen dreiecken, die herleitung folgendermaßen lösen?

h²=b²+p² und h²=a²+q²
gleichsetzten: b²+p²=a²+q² nach a²=b²+p²-q² aufgelöst und für p=b*cos alpha und q=c-p eingesetzt erhält man :
a²=b²+(b*cos alpha)²-(c-p)²
=b²+(b*cos alpha)²-(c - b*cos alpha)²
=b²+(b*cos alpha)²-(c²-2*b*c*cos alpha + b*cos alpha)
=b²+(b*cos alpha)²-c²+2*b*c*cos alpha - b*cos alpha
=b²-c²+2*b*c*cos alpha

nur leider entspricht dem nicht genau der cosinussatz, der ja a²=b²+c²-2*b*c* cos alpha lautet.

wenn mir da jemand nen tip geben könnte, oder nen fehler findet wäre ich sehr sehr dankbar

gruß
Corni
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine Skizze gemacht hättest, dann wäre dir der Fehler

Zitat:
Original von C0RNi
h²=b²+p² und h²=a²+

in deinem Ansatz gleich aufgefallen. Tatsächlich musst du von

und

ausgehen, und dann klappt auch dein Beweis.


Verschoben


EDIT: Rot- und Fettdruck ergänzt.
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
dank dir, nu hab ich aber grade gemerkt, das ich den kosinus satz mit hilfe des höhensatzes als h²=p*q herleiten soll.

hast du oder jemand anders eine idee zum ansatz?

a²=h²+q² für h²=p*q sowie für q=c-p einsetzen, ergibt
a²= p*(c-p)+(c-p)² = p*(c-p) + c²- 2*c*p +p²
für p=b*cos alpha eingesetzt ergibt:

a²=b* cos alpha *(c-b*cos alpha)+c²-2*b*c*cos alpha + b²*cos² alpha
=b*c* cos alpha -b²*cos² alpha +c² -2*b*c* cos alpha +b²*cos² alpha
=b*c* cos alpha +c² -2*b*c* cos alpha

und wie ihr seht, bin ich schon wieder knapp an dem kosinus satz vorbei.. ich kann mir schlecht vorstellen, dass b²=b*c* cos alpha, weil dann hätte ichdie herleitung feritg..

danke für eure zeit und euer verständiss,
gruß
Corni
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter Höhensatz im allgemeinen Dreieck??? verwirrt
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich hab die aufgabe, den cosinus satz mithilfe des höhensatzes herzuleiten ob im allgemeinen dreieck oder nicht, is denke ich mal relativ egal, oder lässt sich das nicht vereinen?
der höhensatz sagt doch h²=p*q oder funktioniert das generell nicht den cosinus satz, dadraus abzuleiten??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von C0RNi
ob im allgemeinen dreieck oder nicht, is denke ich mal relativ egal

geschockt

Eine Behauptung beweist man nicht dadurch, dass man nur einen Spezialfall betrachtet!!!
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

sorry,aber ich betrachte dabei schon das allgemeine dreieck und kein spezielles, darum gehts ja.

die frage is nur ob ich den kosinussatz überhaupt mit dem höhensatz herleiten kann, oder ob es da einschränkungen gibt, da beimir das ergebnis nicht ganz hinkommt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ich wiederhole mich nur ungern, aber:

Was verstehst du unter dem Höhensatz in einem Dreieck, welches nicht rechtwinklig ist???
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich mich richtig erinnere -ist schon lange her, dann leitet man den cosinussatz her/ab, indem man den pythagoras auf das dreieck ABH anwendet.
wozu soll hier der/welcher höhensatz dienen?
werner
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

danke wernerrin Freude
genau das soll ich beantworten und ich dachte jemand hat da vllt ne idee für einen ansatz ihn in kombination oder ähnliches mit dem pythagoras abzuleiten?

gruß
Corni
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo ist jetzt der Höhensatz? Den Beweis (ohne Höhensatz) hattest du doch schon oben, wenn du das falsche

und

durch das richtige

und

ersetzt, wie von mir vorgeschlagen - oder hast du das gar nicht gemerkt? Muss ich wohl in Zukunft mehr Fettdruck benutzen... smile
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
jo das is der beweis ohne höhensatz, meine frage wäre nun, ob man da die formel h=p*q mit einbringen könnte?
is das generell den überhaupt möglich mit h=p*q zu arbeiten? sonst hab ich eine falsche aufgabe bekommen, wenn das überhaupt nich hinhaut.

gruß
Corni
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Höhe auf und die beiden durch den Höhenfußpunkt von auf getrennten Teilstücke von sind, dann gilt dann und nur dann, wenn ist. D.h., das Dreieck muss in diesem Fall rechtwinklig sein, und dann nennt man diese Beziehung auch Höhensatz.

Oder nochmal ganz deutlich: In einem nicht-rechtwinkligen Dreieck ist immer .
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
@arthur dent, danke für deine Hilfestellung, nun verstehe ich auch das missverständniss.
ich habe es heute trotzdem noch einmal versucht den cosinus satz mithilfe von pythagoras und dem höhensatz herzuleiten und dabei folgendes festgestellt:

ich betrachte das durch die höhe h, in zwei rechtwinklige dreiecke BCD und ADC, aufgeteilte dreieck ABC, dan gilt nach pythagoras:

h²=a²-q², sowie h²=b²-p²

in beiden fällen müsste q=(c-p), sowie h²=p*q und p=b*cos alpha gelten.

( h²=p*q=b*cos alpha * (c-p)= b*cos alpha*(c-b*cos alpha)= -b²*cos² alpha + b*c*cos alpha )

h²=a²-q² umgestellt in a²=h²+q² und eingesetzt:
a²= -b²*cos² alpha + b*c*cos alpha + c² - 2*b*c*cos alpha + b²*cos² alpha
a²= b*c*cos alpha + c² -2*b*c*cos alpha **

betrachten wir nun h²=b²-p², welches nach b²=h²+p² umgestellt und für h² und p² wie eben eingesetzt
b²=-b²*cos² alpha + b*c*cos alpha + b²*cos² alpha
b²= b*c*cos alpha
ergibt.

nun sieht man, dass in ** b²=b*c*cos alpha eingesetzt,
a²= b² + c² -2*b*c*cos alpha ergibt, was dem cosinussatz entspricht.


ist mir hier nun ein fehler unterlaufen, oder is das eine herleitung des cosinussatzes mithilfe von pythagoras und dem höhensatz?

Gruß
Corni

P.S.: ich bin auf eure meinungen dazu sehr gespannt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn die Höhe das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke und teilt (was richtig ist), so bleibt sie doch eine Höhe im ursprünglichen Dreieck!!! Und wenn dieses Dreieck nicht rechtwinklig ist, dann ist falsch, falsch und nochmals falsch!!!

Das sieht man doch schon mit bloßem Auge:
C0RNi Auf diesen Beitrag antworten »

jo, das weiß ich deswegen bin ich ja auch verwirrt, das ich im endeffekt den kosinussatz raus habe.. wodran liegt das denn.
ich meine da der höhensatz nich gelten sollte, dürfte ich doch auch nicht auf das richtige ergebniss kommen?

gruß
Corni
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso nicht? Vielleicht addierst du irgendwo h²=pq, und ziehst es dann woanders wieder ab, so dass sich der Fehler aufhebt. Ich habe jetzt allerdings keine Lust, mühsam den Fehler rauszusuchen, wo du doch mehrere richtige Beweise des Kosinussatzes (darunter deinen eigenen) bereits vorliegen hast. Also such mal schön selber.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Geteilt
Die Frage von Gads wurde hierhin verschoben.

Gruß MSS
Mehehe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung des Kosinussatzes
Tanzen
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