Wurzel umschreiben / ableiten

14.06.2011, 15:43

Bohnsdorfer

Wurzel umschreiben / ableiten

Hallo!

Ich habe folgende Frage, bzgl der Umschreibung und Ableitung von Wurzeln..

Nehmen wir folgende Ausgangssituation:

f(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Gehe ich recht in der Annahme, dass oben genannte Wurzel umgeschrieben folgendermaßen aussieht:

f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{1/2} \end{eqnarray*}$

Und gemäß den Regeln fürs Ableiten (x)´= $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$
müsste die 1. Ableitung oben genannter Wurzel lauten:

$\begin{eqnarray*} 1/2x^{-1/2} \end{eqnarray*}$ ???

Sollte das stimmen, wie mach ich aus obigem Term wieder eine Wurzel??
Stünde dann da $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x} /2 \end{eqnarray*}$ ???

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

BG
Bohnsdorfer

14.06.2011, 15:45

Pascal95

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Nein, das ist nicht ganz korrekt.

Formel die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1/2\cdot x^{-1/2} \end{eqnarray*}$ mal um.

14.06.2011, 15:57

Bohnsdorfer

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RE: Wurzel umschreiben / ableiten

Zitat:

Stünde dann da $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x} /2 \end{eqnarray*}$ ???

Vielleicht hab ich mich da etwas umständlich ausgedrückt ... ich meinte

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{x} }{2} \end{eqnarray*}$

BG
Bohnsdorfer

14.06.2011, 15:59

Pascal95

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Ja, genau das ist falsch.

Forme die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1/2\cdot x^{-1/2} \end{eqnarray*}$ mal um.

14.06.2011, 16:05

Bohnsdorfer

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Hmmm ... kann es sein, dass das Vorzeichen nicht stimmt? Mir raucht schon der Kopf! Die Lösuing liegt mal wieder vor einem, doch irgendwie sieht man sie nicht...

Also könnte eventuell $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} }{2} \end{eqnarray*}$ stimmen? Also ohne "-" davor?

BG
Bohnsdorfer

14.06.2011, 16:07

Pascal95

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Ne, das ist es nicht.

Ich mach mal den Anfang:
$\begin{eqnarray*} \frac12 \cdot x^{-\frac12 } =\frac12 \cdot \frac1{x^{\frac12 }} \end{eqnarray*}$ , denn es gilt: $\begin{eqnarray*} a^{-b}=\frac1{a^b} \end{eqnarray*}$

14.06.2011, 16:21

Bohnsdorfer

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Hab mir das grad eben nochmal auf ein Blatt Papier geschrieben.

Neuer Versuch :-)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

BG
Bohnsdorfer

14.06.2011, 16:26

Pascal95

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Jo, richtig.
$\begin{eqnarray*} \frac12 \cdot x^{-\frac12 } =\frac12 \cdot \frac1{x^{\frac12 }}=\frac12 \cdot \frac1{\sqrt x}=\frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ .

Man schreibt dann für die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\left( \sqrt x \right)=\frac1{2\sqrt x} \end{eqnarray*}$ .

14.06.2011, 19:22

Bohnsdorfer

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Hey super! Vielen Dank für die Hilfestellung!

Wie siehts denn mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} \end{eqnarray*}$ aus?

Wäre da die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{2x} } \end{eqnarray*}$ ?

BG
Bohnsdorfer

14.06.2011, 20:47

Pascal95

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Kettenregel hilft oder beachte $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x}=\sqrt2\cdot \sqrt x \end{eqnarray*}$ und beachte weiterhin, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}\left(a\cdot f(x)\right)=a\cdot \frac{\dd}{\dd x}\left( f(x)\right) \end{eqnarray*}$ (dabei sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ natürlich konstant).

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