Cauchy Hadamard

Neue Frage »

14.06.2011, 16:05	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Hadamard Meine Frage: Also in unserem Skript ist Satz 9.1 (Cauchy Hadamard) so definiert: Für eine Potenzreihe P(z) = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} z^k \end{eqnarray}$ setzen wir $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{\|a_{k} \|} \end{eqnarray}$ Erklären wir dann R(konvergenzradius) : $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = 0 $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ^-1 falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in (0,+\infty ) \end{eqnarray}$ 0 falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = + $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Soll nun den Konvergenzradius der Reihe : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (2+(-1)^k)^k z^k \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Nun ja habe mir nun die Formel oben genommen: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{\|a_{k} \|} \end{eqnarray}$ Mein ak müsste ja dann (2+(-1)^k)^k sein oder? Das setze ich ein: $\begin{eqnarray} \alpha = \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{\|(2+(-1)^k)^k} \| \end{eqnarray}$ dann ziehe ich die Wurzel und habe: $\begin{eqnarray} \alpha = \lim_{k \to \infty }{\|(2+(-1)^k)}\| \end{eqnarray}$ Ja nun habe ich ja ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ was entweder 1 oder 3 ist.. Und was sagt mir das nun für meinen KOnvergenzradius?
14.06.2011, 20:14	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner??
14.06.2011, 20:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht da wirklich (!!!) $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} \end{eqnarray}$ , oder nicht doch eher $\begin{eqnarray} \limsup_{k\to\infty} \end{eqnarray}$ ? Ein wichtiger Unterschied.
14.06.2011, 20:53	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps ja lim sup aber dann kann ich das doch genauso machen oder??
14.06.2011, 20:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Unterschied, dass $\begin{eqnarray} \limsup_{k \to \infty}{\|(2+(-1)^k)}\| \end{eqnarray}$ existiert, während das bei $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty}{\|(2+(-1)^k)}\| \end{eqnarray}$ nicht der Fall ist.
14.06.2011, 23:29	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann habe ich doch trotzdem 3 oder 1? Heißt das dann mein Konvergenzradius ist a^-1??
Anzeige

14.06.2011, 23:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was heißt "3 oder 1" für den Limes Superior? Und wo kommt plötzlich dieses a^-1 her? Fragen über Fragen, sortiere mal genau deine Gedanken.
14.06.2011, 23:58	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja weil da ja steht 2+(-1)^k und das ist ja je nachdem ob k gerade oder ungerade ist 1 oder 3 oder? R(konvergenzradius) : $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = 0 $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ^-1 falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in (0,+\infty ) \end{eqnarray}$ 0 falls $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = + $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Und da ich ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zwischen 0 und unendlich habe dachte ich dann $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ^-1
15.06.2011, 01:06	ring	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge $\begin{eqnarray} \|2+(-1)^k\| \end{eqnarray}$ hat zwei Häufungspunkte. Diese wurden bereits errechnet. Der Limes Superior ist nun der größte Häufungspunkt. Wie ebenfalls bereits erwähnt ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} \alpha^{-1} \end{eqnarray}$ . Allerdings wissen wir was $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist, und können somit den Konvergenzradius exakt angeben. Das ist das, was noch fehlt.
15.06.2011, 12:33	Ninalina	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist der lim sup dann in diesem Falle 3 womit dann $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = 3 somit ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ^-1= 1/3 Richtig soweit? =)

Neue Frage »

Antworten »

Cauchy Hadamard

Verwandte Themen