sinusfunktion nach einer variable auflösen

14.06.2011, 16:44

ViolentKoala

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sinusfunktion nach einer variable auflösen

Meine Frage:
Hallo,
im Physikunterricht haben wir im Moment das Thema Interferenzmuster, und dazu haben wir die Formel $\begin{eqnarray*} x= \sin(arctan(a/b)) \end{eqnarray*}$ bekommen. Nun geht es darum diese Formel nach a aufzulösen.

Meine Ideen:
Das Problem ist, dass ich keine Ahnung habe wie man sin bzw. arctan in einer Formel sehen muss. Die einzige Idee die ich habe, ist es, arctan bzw. sinus als normale zahl/variable aufzufassen, weil dann das Auflösen kein Problem wäre ->
$\begin{eqnarray*} x=\sin(\frac{arctan*a}{arctan*b} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{sin*arctan*a}{sin*arctan*b} \end{eqnarray*}$
Aber da ich mir ziemlich sicher bin, dass das falsch ist, weiß ich nicht mehr weiter -.-

Danke,
ViolentKoala

14.06.2011, 16:48

Mazze

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Grundsätzlich solltest Du erstmal überlegen was Du da für Funktionen hast. Der Sinus nimmt Werte zwischen -1 und 1 an, also ist die erste Bedingung die zu überprüfen ist, ob wirklich auch $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn schon das nicht gesichert ist, brauch man garnicht anfangen. Aber ich gehe mal davon aus dass x diese Bedingung erfüllt.

Um die Formel nach a aufzulösen gehst Du von aussen nach innen vor. Wie würdest Du etwa die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x = \sin(z) \end{eqnarray*}$

nach z auflösen?

14.06.2011, 16:56

ViolentKoala

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1. Es ist gesichert das die Werte zwischen 0 und 1 liegen

2. Das ist das Problem: ich hab keine Ahnung was das Auflösen von Sinusfunktionen angeht... unglücklich

unglücklich

14.06.2011, 17:01

Mazze

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Naja, nehmen wir an wir haben eine Funktion f die auf einem bestimmten Zahlenbereich invertierbar ist. Das bedeutet, es gibt eine Funktion g so dass

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = g(f(x)) = x \end{eqnarray*}$

ist. Hat man dann eine Gleichung

x = f(y) , und liegt y in dem oben erwähnten Zahlenbereich (und x entsprechend im Bildraum), dürfen wir auf beide Seiten der Gleichung die Funktion g anwenden ohne die Lösungsmenge zu verändern. Wir erhalten dann :

$\begin{eqnarray*} x = f(y) \Leftrightarrow g(x) = g(f(y)) \end{eqnarray*}$

und da wir wissen, dass g die Umkehrfunktion zu f ist, folgt $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ , also insgesamt

$\begin{eqnarray*} g(x) = y \end{eqnarray*}$

Wir haben also nach y umgestellt, in dem wir die Umkehrfunktion von f auf beide Seiten angewendet haben. Und genau das machen wir bei deiner Aufgabe auch. Die Umkehrfunktion vom Sinus nennt man Arcusinus und wird mit $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ ausgedrückt. Der Arcussinus ist auf [-1,1] definiert, und da x zwischen 0 und 1 liegt, kannst Du also den Arcussinus auf die Gleichung anwenden.

14.06.2011, 17:03

mYthos

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Zitat:

Original von ViolentKoala
$\begin{eqnarray*} x=\sin(\frac{arctan*a}{arctan*b} ) \end{eqnarray*}$
...
Aber da ich mir ziemlich sicher bin, dass das falsch ist, weiß ich nicht mehr weiter -.-
...

Das ist auch falsch, denn den Bruch kann man sicherlich nicht in die Funktion des Zählers und Nenners auflösen.

Setze w = arctan(a/b)

x = sin w ist gleichbedeutend mit w = arcsin x

somit folgt aus

arctan(a/b) = w

arctan(a/b) = arcsin x

Und weiter?

mY+

EDIT: Ähhhm, zu lange herumgedoktort ...

14.06.2011, 17:08

ViolentKoala

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Das heißt also, wenn ich den arcsinus anwenden, steht da

$\begin{eqnarray*} \arcsin(x)=\arctan(a/b) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: als ich mir den letzten Post durchgelesen hab hat sich das bestätigt Hammer

Hammer

Edit2: Kann ich jetzt den tan anwenden?
Edit 3: Und noch ne frage:

In der eigentlichen Formel hängt an dem $\begin{eqnarray*} x=\sin(arctan(a/b)) \end{eqnarray*}$ noch ein $\begin{eqnarray*} *g/k \end{eqnarray*}$ dran. muss auch auf das g/k der arcsinus angewandt werden?

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14.06.2011, 17:12

Mazze

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Zitat:

ann ich jetzt den tan anwenden?

Sehr schön! Freude

Freude

Du musst nur noch überlegen, ob $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ für x zwischen 0 und 1 auch im Definitionsbereich des Tangens liegt!

14.06.2011, 17:15

ViolentKoala

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Gut, dann hab ich das schonmal verstanden :-)

Und wie ist das nu mit dem g/k?

14.06.2011, 17:17

Mazze

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Zitat:

In der eigentlichen Formel hängt an dem $\begin{eqnarray*} x=\sin(arctan(a/b)) \end{eqnarray*}$ noch ein $\begin{eqnarray*} *g/k \end{eqnarray*}$ dran. muss auch auf das g/k der arcsinus angewandt werden?

Ja! Die Umkehrfunktion wird immer vollständig auf die Seiten angewendet. Etwa

$\begin{eqnarray*} x + y = \sin(z) => \arcsin(x+y) = z \end{eqnarray*}$

falls x,y,z entsprechend in den Bereichen liegen.

14.06.2011, 17:24

ViolentKoala

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Ist das Ergebniss dann:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{\tan(\arcsin(x)) }{\tan(\arcsin(g/k))}*b \end{eqnarray*}$

?

14.06.2011, 17:30

Mazze

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Die eigentliche Aufgabe ist also :

$\begin{eqnarray*} x = \sin(\arctan(\frac{a}{b}))\frac{g}{k} \end{eqnarray*}$

?

Dann ist deine Lösung nicht richtig. Es ist

$\begin{eqnarray*} x = \sin(\arctan(\frac{a}{b}))\frac{g}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\frac{k}{g} = \sin(\arctan(\frac{a}{b})) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} -1 \leq \frac{xk}{g} \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist

$\begin{eqnarray*} \arcsin\left(\frac{xk}{g}\right) = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray*}$

Du darfst

$\begin{eqnarray*} \arcsin\left(\frac{xk}{g}\right) \end{eqnarray*}$

nicht zu $\begin{eqnarray*} \frac{\arcsin(xk)}{\arcsin(g)} \end{eqnarray*}$ umformen, denn diese Umformung ist falsch! Das kannst Du auch leicht mit einem Taschenrechner nachprüfen.

14.06.2011, 17:32

ViolentKoala

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Ok danke... ich habe g/k am anfang nicht auf die andere seite gestellt - das wird mein fehler gewesen sein
Also ist das Ergebnis dann $\begin{eqnarray*} b*\tan(arcsin(x*g/k)=a \end{eqnarray*}$

14.06.2011, 17:36

Mazze

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Ja , du musst aufpassen. Für die Umkehrfunktion gilt

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = x \end{eqnarray*}$ , wenn Du jetzt aber $\begin{eqnarray*} f(g(x)y) \end{eqnarray*}$ hast, kommt was anderes heraus. Sprich, wenn Du bei

$\begin{eqnarray*} x = \sin(\arctan(\frac{a}{b}))\frac{g}{k} \end{eqnarray*}$

direkt umformst erhälst Du

$\begin{eqnarray*} \arcsin(x) = \arcsin(\sin(\arctan(\frac{a}{b}))\frac{g}{k}) \end{eqnarray*}$

Und das ist komplizierter als vorher Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2011, 18:34

ViolentKoala

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Stimmt das Ergebnis was ich da raus hab denn nun?

14.06.2011, 19:13

Mazze

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Vielleicht solltest Du dich dran gewöhnen wenn jemand auf deinen Post geantwortet hat etwaige Änderungen als neue Antwort zu formulieren. Dein Ergebnis ist fast richtig. Der Term innerhalb von arcsin ist noch falsch (k und g tauschen!)

14.06.2011, 20:30

ViolentKoala

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-.- Ich habe es mir auch andersrum aufgeschrieben...
Freude

Freude

nochmal danke das ihr mir das beigebracht habt!!

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