Matrix, Zentrum eines Ringes

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14.06.2011, 16:46	RandomDude	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix, Zentrum eines Ringes Meine Frage: Hallo an Alle, Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} \left\{ A\in K^{n\times n} \| \forall B \in K^{n \times n} : AB= BA\right\} \end{eqnarray}$ Tipp: Betrachten Sie Diagonalmatrizen Meine Ideen: Also ich habe die Menge bestimmt, dass müsste dann $\begin{eqnarray} \left\{ \lambda \cdot E_{n}\|\lambda \in K \right\} \end{eqnarray}$ sein. Mein Problem ist, dass ich AB=BA mittels zwei bel. Diagonalmatrizen gezeigt habe und keinen Plan habe wie ich das aber für bel. Matrizen zeigen soll, dass halt nur für Diagonalmatrizen diese Eigenschaft gilt. Kann mir einer vielleicht einen Tipp geben? Danke an Alle im Voraus^^
14.06.2011, 18:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix, Zentrum eines Ringes Es soll für alle B(!) gelten. Nun schauen wir uns A an und machen es langsam immer kompizierter. Einheitsmatix - passt. Vielfache der Einheitsmatrix - passt. Nun rechne doch mal allgemein aus, was passiert, wenn man mit einer Diagonalmatrix von Links und rechts Multipliziert... Und damit kann man auch die restlichen Matrizen ausschließen, betrachte A nun als B und baue den Widerspruch.
14.06.2011, 19:10	RandomDude	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort^^ Okay für die Einheitsmatrix kann man ja rechnerisch zeigen, dass es passt und daraus folgern, dass es auch für Vielfache der Einheitsmatrix passt. Das sehe ich ein. Für eine Diagonalmatrix habe ich bei einer Linksmultiplikation ja Spalten in der Form $\begin{eqnarray} \lambda_{1}v_{1} ,..., \lambda_{n}v_{n} \end{eqnarray}$ und für die Rechtsmultiplikation dann Zeilen in der Form $\begin{eqnarray} \lambda_{1}u_{1} ,..., \lambda_{q}u_{q} \end{eqnarray}$ . Und daraus kann man ja sofort schließen, dass die Vor. AB=BA für Diagonalmatrizen nicht stimmt. Lieg ich denn soweit richtig? Ich hoffe man kann das Nachvollzeihen. So nun weiß ich aber nicht was du nun mit "betrachte A als B" meinst? Soll A eine Diagonalmatriz sein, wobei A=B gilt? Dies müsste dann stimmen. Hm aber ich sehe noch keinen Widerspruch bzw. ich komm nicht drauf wie ich einen zeigen sollte.
14.06.2011, 19:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang sieht gut aus. Nun nimm mal an, es gibt ein weiteres A, dass mit allen, also auch vielfachen der Einheitsmatrix kommutiert...
14.06.2011, 19:34	RandomDude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich nehme jetzt wie du meintest an, dass ein A ex. das mit allen matrizen inc. Einheitsmatrizen kommutiert... So dh. dann müsste doch A, eine bel. Matrix, ja auch mit einer Diagonalmatriz kommutieren aber ich habe gezeigt, dass die Links- und Rechtsmultiplikation mit einer Diagonalmatriz ja nicht kommutieren kann also ist das ein Widerspruch! Lieg ich da Richtig? Hät ich somit wirklich gezeigt, dass nur die "Einheitsmatrizen" diese Bed. erfüllen?
14.06.2011, 20:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wir können ausschließen, dass A von der Gestalt Diagonalmatrix ist, mit nicht uniformen Einträgen. Aber es gibt sicher eine solche Matrix B* Sei A nun beliebig, nur ungleich B und nicht uniforme Dreieksmatrix. Wie hilft uns nun B*, zu zeigen, dass A nicht in der Menge ist?
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14.06.2011, 20:43	RandomDude	Auf diesen Beitrag antworten »
Puuuu Also nochmal Schritt für Schritt ^^ Sei A eine bel. Matrix ungleich B und nicht uniforme Dreiecksmatrix. Also ist A eine "normale" Matrix mit den Spalten $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ . Sei nun B* eine bel. Diagonalmatrix mit nicht uniformen Einträgen. Nun gilt ja nach der Def. der Menge, dass A mit allen $\begin{eqnarray} B\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ kommutieren muss also auch mit B. Da aber B als Diagonalmatrix def. ist und ich gezeigt habe, dass eine Matrix nicht mit einer Diagonalmatrix kommutiert, folgt ja, dass A nicht in der Menge drin sein darf, da die Bed. $\begin{eqnarray} \forall B\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Daraus kann man ja jz. schließen, dass alle bel. Matrizen der Form $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ nicht in der Menge sind. Dh. ich hab ausgeschlossen, dass sowohl uniforme Diagonalmatrizen in der Menge und Matrizen der Form $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ nicht in meiner Menge liegen können. Folglich bleiben nur die Nullmatrix und die Einheitsmatrizen. Lieg ich da richtig?
14.06.2011, 20:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So war mein Gedanke.
14.06.2011, 21:00	RandomDude	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt! Danke tigerbine für deine Unterstützung

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