Die Menge aller Mengen

14.06.2011, 17:10

Daniel1

Die Menge aller Mengen

Meine Frage:
Ich beschäftige mich z.Z. mit einem Skript für Erstsemester in Informatik. Hier geht es um die Menge aller Mengen.

Ich verstehe das noch nicht ganz. Wie stellt man sich die Menge aller Mengen überhaupt vor?

Könnte man in Zahlen gefasst sagen:

$\begin{eqnarray*} M = {- \infty ; + \infty}<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn dies nun die Menge aller Mengen ist warum enthält sie sich selbst als Element?
Das würde ja bedeuten
$\begin{eqnarray*} M = {- \infty ; + \infty; M} \end{eqnarray*}$
und das würde widerum bedeuten das es einfach
nur
$\begin{eqnarray*} M = {- \infty ; + \infty}X2 \end{eqnarray*}$
wäre.

Meine Ideen:
Ich glaube ich muss das ganze noch abstrakter betrachten aber im momment kann ich mir einfach nicht erklären wie das zu verstehen ist. Ich habe mir bereits den Eintrag zur Russelschen Antonomie auf Wikipedia durchgelesen aber ich versteh es dennoch nicht :/
Wie stelle ich mich eine Menge vor die sich nicht selbst als Element enhält? Das tut sich doch eigenltich auotmatisch wenn ich die Menge {1,2,3} habe dann enthält sich diese Menge ja schon selbst?....

Versteht jemand wie ich das meine und kann mir helfen? Falls ja würd ich mich sehr freuen Augenzwinkern

14.06.2011, 17:23

Mazze

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Zitat:

Könnte man in Zahlen gefasst sagen:

Nein, denn die Menge alle Mengen enthält mehr als Zahlen. Zum Beispiel enthält die Menge alle Mengen auch die Menge

{ geschockt

} usw.

Zitat:

Wenn dies nun die Menge aller Mengen ist warum enthält sie sich selbst als Element?

Tja, das ist die entscheidende Frage, denk mal näher drüber nach Augenzwinkern

Zitat:

Wie stelle ich mich eine Menge vor die sich nicht selbst als Element enhält?

Das gilt für jede (wohldefinierte) Menge , zu deiner Beispielmenge

M = {1,2,3}

Die Elemente dieser Menge sind 1,2,3, ist M ein Element der Menge?

14.06.2011, 17:28

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Original von Daniel1
Ich verstehe das noch nicht ganz. Wie stellt man sich die Menge aller Mengen überhaupt vor?

Die stellt man sich besser gar nicht vor, denn sie ist unvorstellbar. In der axiomatischen Mengenlehre ist sie auch nicht konstruierbar.

Nehmen wir mal an, es gäbe das Ding und nennen es $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach Definition:

(1) $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist eine Menge.
(2) Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} X \in \Omega \end{eqnarray*}$

Was folgt nun aus (1) und (2) wenn du für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einsetzt?

14.06.2011, 17:46

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Die Elemente dieser Menge sind 1,2,3, ist M ein Element der Menge?

Meiner Ansicht nach ja, denn M ist ja schließlich 1,2,3. Oder müsste dort stehen 2x {1,2,3} damit M sich selbst enthalten würde?

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Daniel1
Ich verstehe das noch nicht ganz. Wie stellt man sich die Menge aller Mengen überhaupt vor?

Das würde doch nur gehen wenn $\begin{eqnarray*} X=Omega \end{eqnarray*}$ gilt, oder? Aber da du ja auf die Russelsche rauswillst kann das nicht so ganz stimmen :/

14.06.2011, 17:49

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen
Für X darfst du nach Definition jede Menge einsetzen, also auch $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

14.06.2011, 17:53

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Original von Huggy
Für X darfst du nach Definition jede Menge einsetzen, also auch $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Wenn das so ist dann wäre in diesem Fall ja Omega die Menge aller Mengen, oder?

14.06.2011, 17:56

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen
Na, das war doch die Definition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gemäß deiner Frage.

14.06.2011, 18:24

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen
Aber Russellsche untersuchte doch die These
"Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen"

Das bedeutet eben das M sich auch selbst enthalten kann. Was ist daran falsch? Der "Wurm" kommt ja erst ab dem Teil rein wo man von

S = { A | A ist eine Menge und A nichtlement A }. ausgeht.

14.06.2011, 18:56

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen
Ich verstehe deine Frage nicht. Ich habe doch bisher gar nicht versucht zu zeigen, dass diese Konstruktion widersprüchlich ist. Ich habe nur aufgezeigt, dass aus dieser Definition folgt:

$\begin{eqnarray*} \Omega \in \Omega \end{eqnarray*}$

Das ist für sich allein noch nicht widersprüchlich. Allerdings kann man zeigen, dass diese Konstruktion zu Widersprüchen führt. Das geht anders als bei der Russelschen Antinomie.

14.06.2011, 18:58

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Original von Huggy
Ich verstehe deine Frage nicht. Ich habe doch bisher gar nicht versucht zu zeigen, dass diese Konstruktion widersprüchlich ist. Ich habe nur aufgezeigt, dass aus dieser Definition folgt:

$\begin{eqnarray*} \Omega \in \Omega \end{eqnarray*}$

Das ist für sich allein noch nicht widersprüchlich. Allerdings kann man zeigen, dass diese Konstruktion zu Widersprüchen führt. Das geht anders als bei der Russelschen Antinomie.

Ja, aber meine Anfangsfrage bezog sich auf jene Augenzwinkern

Aber vllt hilft mir ja dein Ansatz auch weiter. Wo also treten die Probleme bei

$\begin{eqnarray*} \Omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ auf? Augenzwinkern

14.06.2011, 19:15

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen
Nun stifte keine Verwirrung! Deine Anfangsfrage war:

Zitat:

Wenn dies nun die Menge aller Mengen ist warum enthält sie sich selbst als Element?

Und die habe ich versucht zu beantworten. Von einer Antinomie war da nirgends die Rede.

Eine Antinomie kommt so zustande: Sei $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach Definition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(\Omega) \in \Omega \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} |P(\Omega)| \leq |\Omega| \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt für jede Menge M

$\begin{eqnarray*} |P(M)| > |M| \end{eqnarray*}$

Also gilt

$\begin{eqnarray*} |P(\Omega)| > |\Omega| \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

14.06.2011, 20:03

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Original von Huggy
Nun stifte keine Verwirrung! Deine Anfangsfrage war:

Zitat:

Wenn dies nun die Menge aller Mengen ist warum enthält sie sich selbst als Element?

Ok, die Sache hab ich glaub ich verstanden. Ich möchte nur zur Verständnisbefriedigung noch einmal auf die russelsche Theorie zurückkommen.

Sagen wir es gilt:

$\begin{eqnarray*} M = {A \mid A ist die Menge aller Mengen} \end{eqnarray*}$

Da es die Menge einer Menge ist gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir uns S dies sei jetzt die Menge aller Mengen ohne sich selbst als Element.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} S = {S \mid S ist die Menge aller Mengen ohne sich selbst als Element (s) zu beinhalten} \end{eqnarray*}$ (2)

Da M die Menge aller Mengen ist enthält es auch S. Jetzt frage ich mich enthält sich S selbst als Element.

Es gilt S $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ S

=> S ist nicht Element von S wegen (2)

Es gilt S nicht Element von S

=> Hier hänge ich, den Teil verstehe ich nicht. :/

*edit*

S enthält ja alle Mengen ausser sich selbst, es enthält zwar nicht die Menge S an sich aber den kompletten "inhalt von S" und damit enthält es ja wider S, liege ich da richtig?

14.06.2011, 20:20

Huggy

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RE: Die Menge aller Mengen
Die Sache wird klarer, wenn man sie etwas formaler aufschreibt. S sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Eine Menge X ist also genau dann Element von S, wenn gilt $\begin{eqnarray*} X \not \in X \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X \in S \Leftrightarrow X \not \in X \end{eqnarray*}$

Wieder darf man für X jede beliebige Menge einsetzen. Wenn S also ein wohldefinierte Menge ist, darf man für X auch S einsetzen und dann steht da:

$\begin{eqnarray*} S \in S \Leftrightarrow S \not \in S \end{eqnarray*}$

Ein offensichtlicher Widerspruch.

14.06.2011, 20:55

Daniel1

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RE: Die Menge aller Mengen

Zitat:

Original von Huggy
Die Sache wird klarer, wenn man sie etwas formaler aufschreibt. S sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Eine Menge X ist also genau dann Element von S, wenn gilt $\begin{eqnarray*} X \not \in X \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X \in S \Leftrightarrow X \not \in X \end{eqnarray*}$

Wieder darf man für X jede beliebige Menge einsetzen. Wenn S also ein wohldefinierte Menge ist, darf man für X auch S einsetzen und dann steht da:

$\begin{eqnarray*} S \in S \Leftrightarrow S \not \in S \end{eqnarray*}$

Ein offensichtlicher Widerspruch.

Achso ich glaube ich hatte da ein Wortverständnisproblem ich dachte immer S sei die Menge aller Mengen ausser S und nicht aller Elemente die sich selbst als Element enthalten.....

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