Funktion von Wurzel 2 in Rationalen Zahlen?

14.06.2011, 19:51	-Timo-	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion von Wurzel 2 in Rationalen Zahlen? Meine Frage: Hallo an alle Ich habe bei einer aufgabe Probleme. Naja, was heißt Probleme, ich könnte sie schon lösen nur da ist was was ich nicht verstehe. Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f: R \rightarrow R : f(q)=q^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} q\in Q \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} f(\sqrt{2})=2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Aber wenn doch $\begin{eqnarray} q\in Q \end{eqnarray}$ ist, kann doch $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ den wert $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ gar nicht annehmen, oder denke ich falsch? Gruß und lieben Dank Timo
14.06.2011, 21:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, ein rationales q kann niemals $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ sein. mY+
14.06.2011, 21:49	-Timo-	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Leider sehe ich grade ich habe ein kleines Deteil vergessen, tut mir leid. -Die funktion $\begin{eqnarray} f(q) \end{eqnarray}$ soll stetig sein- Aber nach meinem Verständnis ist es doch trotzdem Falsch, oder?
14.06.2011, 23:29	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Stetigkeit ist wichtig! du kannst $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ beliebig nah durch Rationale Zahlen annähern. Als Beispiel betrachte $\begin{eqnarray} a_{n+1} := \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n}}, a_{1} = 1 \end{eqnarray}$ Jedes Element ist aus Q, konvergiert aber gegen $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt eine Stetigefunktion (lt Vorraussetzung) hast muss $\begin{eqnarray} f(a_{n}) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ mit a ist Grenzwert von a_n. Ich hoffe das stimmt so und ich habe mir keinen (groben) Fehler geleistet.
14.06.2011, 23:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Stetigkeit ist das etwas anderes! Denn an $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ liegen rationale Zahlen beliebig nahe. Der Grenzwert 2 der Funktion kann also durchaus erreicht werden, ohne dass das Argument selbst irrational werden müsste. mY+ @Auli Du hättest mich durchaus noch antworten lassen können. Aber wenigstens haben wir uns nicht widersprochen
15.06.2011, 06:11	-Timo-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, ja ich denke ich habst verstanden. Dann kann ich es ja ganz einfach über die Definition der stetigen Funktion zeigen, wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe. Besten Dank euch beiden LG -Timo-
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