Grenzwerte

13.12.2006, 18:56

beachboy

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Grenzwerte

Huhu mal wieder,

folgende Grenzwerte soll ich ermitteln:

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{n(x-1)} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2sin2x}{\sqrt{1-cosx} } \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^+} (\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$

also nun mein Ansatz wäre jetzt :

zu 1. wenn es gegen 1 läuft geht der nenner ja gegen null? also gibt es keinen grenzwert bzw. unendlich oder wie?
als tip hab ich allerdings stehen "verwende polydivision" aber warum? und vorallem wie muss ich x mulitplizieren, dass ich $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ erhalte mit $\begin{eqnarray*} 1^n \end{eqnarray*}$ ??

und was soll mir die division bringen? bekomme ich dadurch nicht nur die asymptote?

zu 2,3

was ich hier nicht verstehe, was es für einen unterschied macht ob ich 0- oder 0+ habe? was sagt mir das? ob es von unten oder von oben kommt? aber was hat das dann für eine konsequenz?

lg
beach

13.12.2006, 19:00

pseudo-nym

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Wenn sowohl Zähler als auch Nenner eine Nullstelle am zu berechnenden Grenzwert haben, dann kannst du beide durch $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gleich Nullstelle) teilen.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich von links, also von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ an, beim rechtsseitigen ist es umgekehrt.
Z.B. Ist eine Funktion an einer Stelle stetig wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert gleich dem Funktionswert sind.

13.12.2006, 19:21

beachboy

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zu 1

also gut dann erhalte ich mit polydivision meinen grenzwert? bleibt die frage wenn ich $\begin{eqnarray*} (x^n-1) : (x-1) \end{eqnarray*}$ teile wie komme ich auf das x^n muss ich das x dann mit 1^n mulitplizieren?

zu rest:

kann ich dann für 0+, 0- analog schreiben der lim von x gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ??

hast du mir nen tip was ich bei 2. machen könnte irgendwie wird doch da schon wieder alles null? unglücklich

unglücklich

13.12.2006, 19:26

pseudo-nym

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Bei sochen Dingern gilt immer:
$\begin{eqnarray*} x^n-1=(x-1) \sum_{\nu=0}^{n-1} x^{\nu} \end{eqnarray*}$

Zitat:

kann ich dann für 0+, 0- analog schreiben der lim von x gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ??

unglücklich

, du wirfst hier gerade zwei Sachen durcheinander. Ich meinte das der Grenzwert irgendwo von links/rechts kommt. Was du vorschlägst würde den Grenzwert nach unendlich streben lassen.

zu2: trigonometrischer Pythagoras
Edit: Nein halt da fehlt das Quadrat

13.12.2006, 19:33

beachboy

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und was spielt es rechnerisch für eine rolle ob der grenzwert von links oder von rechts kommt?

das mit der summe hab ich nicht verstanden unglücklich

unglücklich

13.12.2006, 19:36

pseudo-nym

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Wenn man sich zum Beispiel einer Sprungstelle von links annähert, kommt man auf einen anderen Wert, als wenn man sich von rechts annähert.

Da gibts nix zu verstehen wenn man $\begin{eqnarray*} (x^n-1) : (x-1) \end{eqnarray*}$ ausrechnet kommt das raus.

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13.12.2006, 19:37

beachboy

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okay und warum komme ich auf einen anderen wert?

13.12.2006, 19:51

pseudo-nym

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kA, zeig doch einfach was du gerechnet hast

13.12.2006, 19:59

beachboy

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ich meinte jetzt warum ich zu einem andern wert komme wenn es statt gegen 0+ , gegen 0- geht

zu 2:

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2sin2x}{\sqrt{1-cosx} } \end{eqnarray*}$

hab ich mal erweitert mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+cosx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2sin2x\cdot \sqrt{1+cosx} }{\sqrt{1-cosx} \cdot \sqrt{1+cosx} } \end{eqnarray*}$

dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2sin2x\cdot \sqrt{1+cosx} }{\sqrt{1-cos^2x} } \end{eqnarray*}$

un das is ja sinus x

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2sin2x\cdot \sqrt{1+cosx} }{sinx } \end{eqnarray*}$

kann ich jetz so kürzen?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{sinx\cdot \sqrt{1+cosx} }{1 } \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 20:22

pseudo-nym

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ne, aber beachte

$\begin{eqnarray*} \sin 2x = 2 \cos x \sin x \end{eqnarray*}$

und links und rechtseitiger Grenzwert können auch übereinstimmen. Sie unterscheiden sich nur wenn man eine unstetige Stelle vorliegen hat.

13.12.2006, 20:31

beachboy

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also so?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} \frac{2cosx\cdot \sqrt{1+cosx} }{1 } \end{eqnarray*}$

un nun? quadrieren ? dividieren?

lg
beach

13.12.2006, 20:38

pseudo-nym

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Jetzt kannst du den Grenzwert doch einfach bilden

13.12.2006, 20:41

beachboy

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} 2cosx\cdot \sqrt{1+cosx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^-} 2\cdot 1 \cdot \sqrt{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ??

13.12.2006, 20:46

pseudo-nym

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Ja

13.12.2006, 20:47

beachboy

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alles klar danke smile

smile

wenn ich das ganze nun mit O+ rechnen würde? komme ich dann aufs selbe oder wie?

und nochmal zu eins:

kann ich das so rechnen, oder wie kommst du auf deine summe?
$\begin{eqnarray*} (x^n-1) : (x-1)=1^n \frac{x-1}{1^n-1} \end{eqnarray*}$

lg
beach

13.12.2006, 20:51

pseudo-nym

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Das kannst du auch rausfinden, indem du einfach einmal Werte die ein wenig größer sind als 0 einsetzt und schaust wie sich die Funktion verhält. Du weißt ja jetzt wohin sie letztendlich konvergiert.
Dann machst du das ganze nochmal mit Werten, die ein wenig kleiner sind als 0 . Das wären dann rechts und linksseitiger Grenzwert.

13.12.2006, 21:04

beachboy

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okay danke dir sollangsam versdteh ich das ^^ kannstr du mir nun noch verraten wie ich auf den grenzwert bei 1. komme? bzw. yauf deine summe?

13.12.2006, 21:13

pseudo-nym

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Das ist einfach das Ergebnis der Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (x^n -1) : (x-1) = x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 \end{eqnarray*}$

Und das lässt sich zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu = 0}^{n - 1} x^\nu \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 22:13

beachboy

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ahh ok alles klar smile

smile

so nun bin ich bei 3.

habe nun

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^+} (\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$ erweitert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^+} \frac{(\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x}})\cdot (\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} })}{(\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} })} \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass dann so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to O^+} \frac{\frac{2}{x}+a-2(\sqrt{\frac{1}{x}+a }\cdot\sqrt{\frac{1}{x} })}{(\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} })} \end{eqnarray*}$

lg
beach

14.12.2006, 08:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1}{x}+a }-\sqrt{\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$ erweitert:

Das führt zu nichts. Besser ist die Erweiterung:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1}{x}+a } + \sqrt{\frac{1}{x} }) \end{eqnarray*}$

14.12.2006, 10:11

Sunwater

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bei der b) habt ihr die 2 vor sin 2x vergessen!

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