Endliche p-Gruppe und ihr Zentrum

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche p-Gruppe und ihr Zentrum
Hallo!

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Wir haben eine endliche p-Gruppe G und eine normale Untergruppe H der Ordnung p.

Nun ist zu zeigen, dass H im Zentrum von G liegt.

Meine Gedanken dazu:

Das bedeutet ja nichts anderes, als dass gh=hg für alle g aus G und alle h aus H zu zeigen ist. Da H zyklisch (weil H die Ordnung einer Primzahl hat) ist, ist gh=hg sofort erfüllt, wenn auch g aus H kommt. Außerdem gibt es ein h aus aus H, so dass jedes andere h' durch h^n dargestellt werden kann.
So folgt (auch wegen der Normalität von H in G):
Wenn ich nun zeigen könnte, dass n=m ist, wäre ich fertig, nur hier habe ich leider meine Probleme.

Hoffentlich wisst ihr Rat!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In unserer Situation wirkt auf durch Konjugation (Warum?). Was kann man über die Fixpunktmenge dieser Operation sagen, das uns weiterhilft? Welche Gleichung kennst Du, die die Ordnung von in Zusammenhang mit stellt?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Menge der Fixpunkte ist hier wohl genau das Zentrum von G geschnitten mit H.
Meinst du die Klassengleichung?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich:



Einsetzen:



muss p oder 1 sein. Zeigen soll ich aber, dass es p ist. Folglich muss ich zeigen, dass gilt.

Richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Was würde denn im Falle passieren?
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Genau. Was würde denn im Falle passieren?


Dann wäre

Das ginge nur, wenn und es müsste p-1 verschiedene geben.

Es gibt jedoch nur zwei verschiedene Bahnen, 1 und H, so gibt es nur und .

Und nun liegt es auf der Hand, oder?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber für müsste es doch gehen, oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Es gibt jedoch nur zwei verschiedene Bahnen, 1 und H [...]

Das können nicht verschiedene Bahnen sein, denn sie sind nicht disjunkt.

Zitat:
Original von mathinitus
Dann wäre

Hiermit bist Du fast fertig. Was gilt für die Indizes ?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bahn der 1 ist doch {1}.
Nehmen wir ein h ungleich 1, dann ist die Bahn von h doch gerade H.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Nehmen wir ein h ungleich 1, dann ist die Bahn von h doch gerade H.

Das Ergebnis besagt doch gerade, dass die Bahn von dann ist.

Bitte guck Dir nochmal meinen vorigen Hinweis an.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von mathinitus
Nehmen wir ein h ungleich 1, dann ist die Bahn von h doch gerade H.

Das Ergebnis besagt doch gerade, dass die Bahn von dann ist.

Bitte guck Dir nochmal meinen vorigen Hinweis an.


Ah genau. Also alle Bahnen sind einelementig. Folgt daraus, dass auch einelementig ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wohl kaum. Du solltest den quantitativen Zusammenhang zwischen Bahn und Stabilisator kennen. Außerdem können wir die Einelementigkeit der Bahnen können nicht benutzen, sondern wir müssen sie zeigen.

Wenn wir den Index für ein betrachten, können wir auf jeden Fall ausschließen (Warum?). Welche Werte bleiben nun übrig?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wenn wir den Index für ein betrachten, können wir auf jeden Fall ausschließen (Warum?). Welche Werte bleiben nun übrig?


gilt genau dann, wenn und gilt genau dann, wenn gh=hg für alle g in G gilt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und das geht wegen nicht. Welche möglichen Werte bleiben dann noch für diese Indizes?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ja, und das geht wegen nicht. Welche möglichen Werte bleiben dann noch für diese Indizes?


Nur noch mit .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Wie führt uns das zum Widerspruch?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Richtig. Wie führt uns das zum Widerspruch?


Ja, das tut es (die Summe ist schließlich kleiner als p). Jetzt habe ich es verstanden.

Vielen, vielen Dank für deine Mühe!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. smile

Freut mich, dass ich helfen konnte.
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