Endliche p-Gruppe und ihr Zentrum |
14.06.2011, 20:49 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Endliche p-Gruppe und ihr Zentrum Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Wir haben eine endliche p-Gruppe G und eine normale Untergruppe H der Ordnung p. Nun ist zu zeigen, dass H im Zentrum von G liegt. Meine Gedanken dazu: Das bedeutet ja nichts anderes, als dass gh=hg für alle g aus G und alle h aus H zu zeigen ist. Da H zyklisch (weil H die Ordnung einer Primzahl hat) ist, ist gh=hg sofort erfüllt, wenn auch g aus H kommt. Außerdem gibt es ein h aus aus H, so dass jedes andere h' durch h^n dargestellt werden kann. So folgt (auch wegen der Normalität von H in G): Wenn ich nun zeigen könnte, dass n=m ist, wäre ich fertig, nur hier habe ich leider meine Probleme. Hoffentlich wisst ihr Rat! |
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14.06.2011, 20:57 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In unserer Situation wirkt auf durch Konjugation (Warum?). Was kann man über die Fixpunktmenge dieser Operation sagen, das uns weiterhilft? Welche Gleichung kennst Du, die die Ordnung von in Zusammenhang mit stellt? |
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14.06.2011, 21:15 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Menge der Fixpunkte ist hier wohl genau das Zentrum von G geschnitten mit H. Meinst du die Klassengleichung? |
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14.06.2011, 21:17 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
14.06.2011, 21:24 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also habe ich: Einsetzen: muss p oder 1 sein. Zeigen soll ich aber, dass es p ist. Folglich muss ich zeigen, dass gilt. Richtig? |
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14.06.2011, 21:32 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Was würde denn im Falle passieren? |
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14.06.2011, 21:38 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann wäre Das ginge nur, wenn und es müsste p-1 verschiedene geben. Es gibt jedoch nur zwei verschiedene Bahnen, 1 und H, so gibt es nur und . Und nun liegt es auf der Hand, oder? |
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14.06.2011, 21:46 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber für müsste es doch gehen, oder? |
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14.06.2011, 21:50 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das können nicht verschiedene Bahnen sein, denn sie sind nicht disjunkt.
Hiermit bist Du fast fertig. Was gilt für die Indizes ? |
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14.06.2011, 21:55 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Bahn der 1 ist doch {1}. Nehmen wir ein h ungleich 1, dann ist die Bahn von h doch gerade H. |
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14.06.2011, 22:04 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Ergebnis besagt doch gerade, dass die Bahn von dann ist. Bitte guck Dir nochmal meinen vorigen Hinweis an. |
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14.06.2011, 22:19 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah genau. Also alle Bahnen sind einelementig. Folgt daraus, dass auch einelementig ist? |
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14.06.2011, 22:23 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wohl kaum. Du solltest den quantitativen Zusammenhang zwischen Bahn und Stabilisator kennen. Außerdem können wir die Einelementigkeit der Bahnen können nicht benutzen, sondern wir müssen sie zeigen. Wenn wir den Index für ein betrachten, können wir auf jeden Fall ausschließen (Warum?). Welche Werte bleiben nun übrig? |
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14.06.2011, 22:28 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gilt genau dann, wenn und gilt genau dann, wenn gh=hg für alle g in G gilt. |
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14.06.2011, 22:30 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, und das geht wegen nicht. Welche möglichen Werte bleiben dann noch für diese Indizes? |
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14.06.2011, 22:32 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur noch mit . |
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14.06.2011, 22:34 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Wie führt uns das zum Widerspruch? |
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14.06.2011, 22:51 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das tut es (die Summe ist schließlich kleiner als p). Jetzt habe ich es verstanden. Vielen, vielen Dank für deine Mühe! |
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14.06.2011, 22:52 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau so ist es. Freut mich, dass ich helfen konnte. |
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