Leichter Beweis zu Eigenwerten

14.06.2011, 19:10	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
Leichter Beweis zu Eigenwerten Meine Frage: Hey hänge an einem wohl eher leichteren Beweis zu Eigenwerten: z.z.: $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ Eigenwert von A Dann ist $\begin{eqnarray} \lambda ^{r} \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} A^{r}; r\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: hab mir folgendes überlegt wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert von A dann gibt es doch einen Vektor v mit $\begin{eqnarray} \lambda v=Av \end{eqnarray}$ oder? aber kann man dann nich einfach die ganze gleichung hoch r nehmen und dann noch $\begin{eqnarray} x:=v^{r} \end{eqnarray}$ setzen. Und dann hat man ja einen Vektor x gefunden mit $\begin{eqnarray} \lambda ^{r}x=A^{r}x \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} \lambda ^{r} \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} A^{r} \end{eqnarray}$ Wahrscheinlich ist das totaler schwachsinn naja wär nett wenn mir einer helfen könnte danke lg
14.06.2011, 19:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würdest du denn $\begin{eqnarray} v^r \end{eqnarray}$ ausrechnen? Das ist das Problem dabei: $\begin{eqnarray} A^r v = A^{r-1} (A v) = ... \end{eqnarray}$ So würde ich mal ansetzen.
14.06.2011, 20:13	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh ok.. Es ist $\begin{eqnarray} A^r v = A^{r-1} (A v) = A^{r-1}(\lambda v) = \lambda (A^{r-1}v)= \lambda A^{r-2}(Av)=\lambda ^{2} A^{r-2}v=...=\lambda ^{r} \end{eqnarray}$ das müsste gehen oder? reicht dass dann auch als Beweis? vielen dank schonmal! lg
14.06.2011, 20:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, das ist die Idee dahinter. Wenn du jetzt noch entweder irgendwo das nette Wort "induktiv" hinschreibst, oder ganz sauber eine Induktion durchführst würde ich danach entscheiden wie genau es der Tutor/Prof. will
14.06.2011, 20:16	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke "induktiv" sollte reichen Dankeschön! liebe grüße

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