Lipschitz-stetig ?

13.12.2006, 19:04

hanna_s

Lipschitz-stetig ?

Aufgabe:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist auf jedem Intervall [a,unendlich) mit a>0 lipschitz-stetig, also auch gleichmäßig stetig. Dagegen ist g auf [0,1] zwar gleichmäßig stetig, aber nicht l-stetig. Außerdem folgere man, dass g auf ganz [0,unendlich) gleichmäßig stetig ist.

Hi,
diese Aufgabe bereitet mir etwas Sorgen, denn ich weiß eigentlich nicht, was L-stetigkeit ist. Das kam nicht einmal in der Vorlesung dran und ich habe nur die Definition: $\begin{eqnarray*} x,y D : |f(x)-f(y)|\leq L*|x-y| \end{eqnarray*}$ wobei L die Lipschitz-Konstante ist.

So, jetzt verstehe ich das aber so, dass ich einsetzen muss und dann käme etwa bei dem Intervall [0,1] folgendes raus: Sei z.B. L=2, dann $\begin{eqnarray*} |g(1)-g(0)|\leq L*|1-0| <=> |\sqrt{1}-0| \leq 2*|1-0| \Rightarrow 1 \leq 2 \end{eqnarray*}$ .
Das ist 1. viel zu einfach und 2. sowieso blödsinnig, denn gerade in dem Intervall soll die l-Stetigkeit ja nicht gelten...
Kann mir da jemand helfen?
Danke
LG, Hanna

13.12.2006, 19:31

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lipschitz-stetig ?
Gruße!

Die Lipschitz-Stetigkeit besagt, dass es für alle Belegungen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die von dir genannte Bedingung gilt. Das bedeutet bei der Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ , dass du einen "universell gültigen" Wert für $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ findest, so dass der Abstand der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$ immer unter dem L-fachen der Funktionsstellen $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ bleibt.

Daher können nur solche Funktionen Lipschitz-stetig sein, deren Steigung abnimmt, da bei Funktionen mit wachsender Steigung wie $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wächst.

Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt...

Cordovan

13.12.2006, 19:51

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cordovan
Die Lipschitz-Stetigkeit besagt, dass es für alle Belegungen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die von dir genannte Bedingung gilt.

Das ist falsch. Sie besagt, dass es ein $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle Belegungen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Bedingung gilt. Nicht die Reihenfolge vertauschen!

Zitat:

Original von Cordovan
Daher können nur solche Funktionen Lipschitz-stetig sein, deren Steigung abnimmt, da bei Funktionen mit wachsender Steigung wie $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wächst.

Auch falsch, gibt bestimmt noch einfachere Beispiele. Jetzt fällt mir aber grad nur dieses ein:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$ .

edit: Oder

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.12.2006, 20:06

hanna_s

Auf diesen Beitrag antworten »

danke euch beiden,

aber x^2 ist doch auch nicht lipschitz-stetig, weil das wird überall genannt...

13.12.2006, 20:09

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hanna_s
aber x^2 ist doch auch nicht lipschitz-stetig, weil das wird überall genannt...

Wer hat das denn behauptet?

Gruß MSS

13.12.2006, 20:13

hanna_s

Auf diesen Beitrag antworten »

hier wird gesagt, dass x^2 im unbeschränkten Intervall nicht l-stetig ist...

http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit

13.12.2006, 20:18

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja auch richtig. Ich sehe da jetzt keinen Widerspruch zu irgendeiner Aussage. Ich meinte oben: Wer hat denn gesagt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ auf einem unbeschränkten Intervall Lipschitz-stetig wäre?

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Lipschitz-stetig ?

Verwandte Themen