Erwartungswerte und Varianz

14.06.2011, 22:23

chillerStudent

Erwartungswerte und Varianz

Meine Frage:
Hallo,

meine Hausaufgabe lautet folgendermaßen:

Aus einer Urne mit 4 schwarzen und 6 roten Kugeln wird zwei mal ohne Zurücklegen
eine Kugel gezogen. Für i = {1,2} sei $\begin{eqnarray*} X_i: \Omega\Rightarrow \left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable, welche die Anzahl der schwarzen Kugeln im i-ten Zug angibt. (Es gilt also P(X_1 = 1) = 4/10, P(X_2 = 1 | X_1 =1) = 3/9 und P(X_2 = 1 | X_1 = 0) = 4/9).

Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X_1), E(X_2) und E(X_1X_2) sowie
die Varianzen V(X_1), V(X_2) und V(X_1X_2).

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} E(X_1) = 1*(4/10)+2*(3/9) ? \end{eqnarray*}$

14.06.2011, 22:34

Hitschler

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Du erwartest mehr als eine schwarze Kugel im Schnitt?

14.06.2011, 22:43

chillerStudent

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Zitat:

Original von Hitschler
Du erwartest mehr als eine schwarze Kugel im Schnitt?

Ich erwarte nur eine schwarze Kugel beim einmal ziehen.

14.06.2011, 22:45

Hitschler

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nein, du erwartest 0,4+2/3=1,066666666

14.06.2011, 22:50

chillerStudent

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Also stimmt diese Rechnung?

$\begin{eqnarray*} E(X_1) = 1*(4/10)+2*(3/9) ? \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich denn E(X_1 X_2) aus?

Ist das das gleiche wie E(X_1) (+) E(X_2) ??

14.06.2011, 22:54

Hitschler

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Nein, meine Nachfrage sollte darauf abzielen, dass da etwas nicht stimmen kann, weil du 1,0666 schwarze Kugeln bei einmal ziehen erwartest, wo doch maximal 1 rauskommen sollte.

Zu Deiner Frage: Wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, dann gilt $\begin{eqnarray*} E[X_1 *X_2]=EX_1 *EX_2 \end{eqnarray*}$

14.06.2011, 22:57

Hitschler

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Haben wir denn hier Unabhängigkeit?

Wenn nicht, solltest Du vllt $\begin{eqnarray*} E[X_1*X_2] \end{eqnarray*}$ einfach über seine Definition berechnen smile

14.06.2011, 23:09

chillerStudent

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Zitat:

Original von Hitschler
Haben wir denn hier Unabhängigkeit?
smile

Ja, es ist unabhängig laut definition. smile

Wie komme ich jetzt auf die 1 bei der E(X_1) ?

14.06.2011, 23:18

chillerStudent

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E(X_1)= 0 * 1/4 + 1 * 2/3 = 0.66666 ??

15.06.2011, 11:01

René Gruber

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Zitat:

Original von chillerStudent
Ja, es ist unabhängig laut definition. smile

Nein, nichts da mit "laut Definition": Ob im zweiten Zug eine schwarze Kugel gezogen wird oder nicht, ist sehr wohl abhängig vom Ergebnis des ersten Zuges - das hast du selbst doch schon festgestellt:

Zitat:

Original von chillerStudent
P(X_2 = 1 | X_1 =1) = 3/9 und P(X_2 = 1 | X_1 = 0) = 4/9)

Im Falle von Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, was sie aber offensichtlich nicht sind. unglücklich

Was Grundsätzliches zum Erwartungswert von 0-1-Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : Dort ist einfach

$\begin{eqnarray*} E(X) = 0 \cdot P(X=0)+ 1 \cdot P(X=1) = P(X=1) \end{eqnarray*}$ .

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