Randstellen Extrema

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14.06.2011, 22:37	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Randstellen Extrema Meine Frage: Hallo, ich hätte mal eine Frage zum Begriff des lokalen Extremums im Zusammenhang mit Randstellen. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es richtig verstanden habe. Wenn ich eine stetige Funktion gegeben habe, die auf einem kompakten Intervall definiert ist, müssen dann die Randstellen nicht automatisch mindestens lokale Extrema sein? Wenn nicht, würde ich mich freuen, wenn es mir jemand erklären kann. Danke. Meine Ideen: ..
15.06.2011, 10:13	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn niemand helfen?
15.06.2011, 11:18	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo 123456789! (Klingt wie bei den Panzerknackern bei Dagobert Duck xD) Also: Wieso sollten denn die Randstellen deiner Meinung nach automatisch Extrema sein? Stellst du dir das so vor wie in 2D? Da ist das natürlich so, wenn das Intervall kompakt ist. Bildlich gesprochen: wenn ich mich an einem Rand des Intervalls befinde, und dort den entsprechenden Punkt des Graphen betrachte, kann ich die Funktion ja nur noch in eine Richtung betrachten, und da kann sie nur entweder steigen oder fallen, womit ich in jedem Fall am Randpunkt einen Extremwert habe. War jetzt ziemlich salopp hingeschrieben, aber das ist es doch, was du meinst?! In 3D ist das Ganze aber völlig anders. Sagen wir, ich habe die Funktion F(x,y)= 2x auf der Einheitskreisscheibe. Wie eben gehe ich nun auf einen Randpunkt der Kreisscheibe, sagen wir (1,0). Da die Kreisscheibe immer noch 2D hat, habe ich im Gegensatz zu vorhin immer noch mehrere Möglichkeiten, in welche Richtung ich nun gehe: Richtung Mittelpunkt des Kreises oder auch entlang der Kreisrandlinie (und selbst dann noch in 2 verschiedene Richtungen). Es ist also bei Weitem nicht so, dass mein betrachteter Randpunkt ein Extremum sein muss! Hoffe dir hilft das jetzt weiter. Ein Tipp noch: Stelle deine Fragen so ausführlich wie möglich und erkläre vor allem, wie du zu den Vermutungen kommst. Ich konnte jetzt nur raten, wie du zu der (falschen) Schlussfolgerung gelangt bist, dass die Randstellen "mindestens lokale Extrema" sein müssen. Ich hoffe, ich habe deinen Gedankengang richtig erfasst, aber wie gesagt- erkläre uns, was du denkst und wie deine Gedankenabläufe sind, nicht nur das Endergebnis deiner Ideen! VG Dustin
15.06.2011, 11:44	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh, habe gerade festgestelle, dass du von einem kompakten INTERVALL geredet hast, also doch 2D. Es geht nur um Funktionen von einer Variablen, ja? In diesem Fall hast du, wie gesagt, natürlich völlig recht mit deiner Behauptung, und es ist auch dein Gedankengang nicht schwer nachzuvollziehen. Vergiss also die "Kritik" einfach
15.06.2011, 11:52	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, ich meinte das ganze im zweidimensionalem. Es ist nur so, dass ich ein Beispiel in meinem Skript gefunden habe (eine zweidimensionale stetige Funktion über einem kompakten Intervall), wo alle lokalen und globalen Extrema angegeben werden sollten. Was mich ein wenig verwunderte ist, dass einer der Randpunkte nicht als lokales Extremum gekennzeichnet wurde, obwohl es meiner Meinung nach so sein sollte. Um sicher zu gehen, dass ich keinen Denkfehler habe, dachte ich, dass mir hier weitergeholfen werden könnte. Es handelt sich also wahrscheinlich um einen kleinen Fehler in Skript. Vielen Dank für die ausführliche Antwort und den Zusatz im 3-dimensionalem.
15.06.2011, 11:54	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du, um ganz sicher zu gehen, mal das Beispiel aus dem Skript posten?
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15.06.2011, 12:18	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion: f(x)=(2x-1)/(x^2+1) auf I=[-1,1]. Meiner Meinung nach: 1 globale Maximalstelle -0,5 globale Minimalstelle -1 lokales Maximum. Es sollen laut der Aufgabenstellung im Beispiel alle lokalen und globalen Extrema bestimmt werden. -1 wir dann aber hinterher nicht als Extremalstelle erwähnt, sondern nur die Punkte 1 und -o,5.
15.06.2011, 12:23	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Die globale Minimalstelle liegt nicht bei -0,5, sondern -o,61... Hab mich eben ein wenig vertan.
15.06.2011, 12:26	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin ich jetzt blöd oder hast du dich vertippt? Diese Fkt. hat bei -0,5 überhaupt kein Extremum...
15.06.2011, 12:28	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habe mich vertan. Oben habe ich mich noch versucht schnell zu berichtigen. Das Minimum ist bei -0,61...
15.06.2011, 12:43	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja OK, genau, bei -0,61... (übrigens genau beim Goldenen Schnitt, aber das ist natürlich n ganz anderes Thema hehe) Ich gebe dir dann vollkommen Recht. ABER es kann sein, dass ein lokales Extremum von eurer Skript- Definition her nicht am Rand der Definitionsmenge liegen darf. Dann würde nämlich die Skriptversion genau passen. Ich kann mir vorstellen, dass das im Skript irgendwo extra erwähnt wird. Diese Definition würde irgendwo Sinn machen, um dann sagen zu können, dass bei einem lokalen Extremum immer f'(x)=0 gilt. Wenn man auch Randwerte für lokale Extremwerte zulässt, muss man immer extra sagen "Für lokale Extrema, die nicht am Rand der Definitionsmenge liegen, gilt f'(x)=0" (Differenzierbarkeit von f natürlich jeweils vorausgesetzt) Allerdings: Laut wikipedia- Definition sind Randstellen als lokale Extrema erlaubt, siehe erstes Bild hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert
15.06.2011, 12:57	123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhhhh, jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Nach der Definition von lokalen Extrema hätte ich recht. Die Randpunkte werden aber nirgends ausgeschlossen. Im Lemma darauf steht wirklich die Aussage, dass wenn x ein lokales Extremum ist, dass dann f'(x)=0 gilt. Also müsste man die Randpunkte ausschließen, wenn sie nur lokale Extremalstellen sind. Ich frag einfach mal in der Uni nach. Vielleicht überseh ich das Entscheidende. Aber viele Dank für die Hilfe.
19.06.2011, 18:36	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Lemma darauf steht wirklich die Aussage, dass wenn x ein lokales Extremum ist, dass dann f'(x)=0 gilt. Wenn das da genauso steht, dann muss er Randstellen als lokale Extrema ausgeschlossen haben. Dann ergibt auch die Musterlösung zu der Aufgabe Sinn. Vielleicht definiert er ein lokales Extreemum x irgendwie mit einer Epsilon- Umgebung um den Wert x herum, in der f(x) der größte Funktionswert ist. Also irgendwie so: x ist ein lokales Extremum, wenn es ein Epsilon >0 gibt, so dass im Intervall [x-Epsilon, x+ Epsilon] sämtliche Funktionswerte kleinergleich f(x) sind. Irgendwie sowas. Dann wären Randstellen ausgeschlossen, da man dann gar keine Epsilon- Umgebung von x betrachten kann, weil man ja in einer Richtung die Definitionsmenge verlassen würde...

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