Wellengleichung und Differentation

14.06.2011, 23:31	theL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wellengleichung und Differentation Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Die Aufgabe lautet: a) Bestimmen Sie alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , für die gilt: $\begin{eqnarray} \vartheta_1 \vartheta_2 f = 0 . \end{eqnarray}$ und noch b) Bestimmen Sie alle Lösungen $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,t) \rightarrow f(x,t) \end{eqnarray}$ , der "Wellengleichung" $\begin{eqnarray} f_{xx} - f_{tt} = 0 \end{eqnarray}$ unter Verwendung von Teilaufgabe a) auf $\begin{eqnarray} f \circ \lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 , \lambda (u,v) = (u+v,u-v)^T \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu a): Also mein Ansatz ist: Aus $\begin{eqnarray} \vartheta_1 \vartheta_2 f = 0 . \end{eqnarray}$ folgt ja, dass $\begin{eqnarray} \vartheta_2 f \end{eqnarray}$ nur von der zweiten Komponente abhängt. Also $\begin{eqnarray} \vartheta_2 f = g(y) + c . \end{eqnarray}$ , da die Fkt. zweimal stetig diff'bar sein soll, gilt wegen der Symmetrie Analog auch $\begin{eqnarray} \vartheta_1 f = h(x) + c . \end{eqnarray}$ Kann ich dann daraus folgern das f in etwa so aussehen muss: $\begin{eqnarray} f(x,y) = h(x) + g(y) +c \end{eqnarray}$ ? und ist das die Lösung der Aufgabe? zu b) aus $\begin{eqnarray} f_{xx} - f_{tt} = 0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} (\vartheta_1 + \vartheta_2 ) ( \vartheta_1 - \vartheta_2) f (x,t) = 0 \end{eqnarray}$ das sieht ja schon dem lambda sehr ähnlich. Und a) anwenden verstehe ich nicht, soll $\begin{eqnarray} f \circ \lambda \end{eqnarray*}$ in 2 Funktionen geteilt werden? Eventuell brauch ich nur einen Denkanstoß. Vielen Dank schonmal. L

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