Vektorräume, Unterräume, Unterraumschnitt

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oerny Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume, Unterräume, Unterraumschnitt
Hi, ich habe folgende Aufgabe und meine Lösungsidee:

V sei ein reeller Vektorraum und eine Basis von V. Der Unterraum werde von den Vektoren aufgespannt, der Unterraum von , wobei






a) bestimme ob in U liegt
b) Bestimme eine basis von

Meine Lösungsidee:
zu a) ich weis die Vektoren der Basis sind Linear unabhänig, damit weis ich dim(U)=4
danach habe ich 4 lin. unabhänige vektoren für gewählt und mit ihnen nachgewisen, dass ebenfalls linearu unabhänig sind, damit weis ich das dim(U)=3 ist genauso weis ich das sich der x Vektor mit einer Linearkombination von darstellen lassen müsste, dies prüfe ich mit meinen gewählten vektoren, da dies nciht der fall ist liegt x nicht in U. kann man das so lösen? stimmt das? ich denke eher man müsste dies über die dimension lösen, aber wie?

zu b)Prüfe wieder ob linear abhänig sind, danach prüfe ich ob sich durch eine Linearkombination von darstellen lässt, da dies nicht funktioniert ergibt sich für die Dimension 2 als basis wähle ich dann 2 vektoren die den R² auspannen. glaube ncith das dies stimmt, denke ich muss da irgendwas mit den vektoren rechnen aber wie?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich weis die Vektoren der Basis sind Linear unabhänig, damit weis ich dim(U)=4


Das ist falsch, der Vektorraum U wird von 3 Vektoren aufgespannt, das heißt das . Aber ich denke mal Du hast dich nur verschrieben da Du ja für dim(U) = 3 hast.

Zitat:
dies prüfe ich mit meinen gewählten vektoren, da dies nciht der fall ist liegt x nicht in U. kann man das so lösen? stimmt das? ich denke eher man müsste dies über die dimension lösen, aber wie?


Das geht durch aus. Du könntest zum Beispiel zeigen das x linear Unabhängig zu u1,u2,u3 ist. Du könntest auch einen Beweis über Kontraposition machen:
Annahme x ist in U dann existieren lambda1,lambda2,lambda3 mit



Das ist dann auch die Idee über die Dimensionen. Du nimmst an Du kannst einen durch 4 linear Unabhängige Vektoren mit koeffizienten ungleich Null mit 3 linear unabhängigen Darstellen.

zu b)

kann schonmal höchstens 2 sein. Nimm dir jetzt einen Vektor

dann ist :



Du lößt also:




Und erhällst Deine Basis.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist falsch, der Vektorraum U wird von 3 Vektoren aufgespannt, das heißt das . Aber ich denke mal Du hast dich nur verschrieben da Du ja für dim(U) = 3 hast.


da hast du recht, hab ich oben korrigiert.

zu a) also setz ich da einfach für 4 linearunabhänige vektoren ein über die ich dann die u verktoren berechnen kann, dann zeig ich das der x vektor nicht linearabhänig zu den u vektoren ist und damit nicht im vektorraum lieg
hab ich das richtig verstanden? das wäre nochmal meine idee, die idee mit der kontraposition ist auch logisch, nur wie muss ich sowas dann schreiben? die behauptung ist klar aber ich hab ja für die u und eta vektoren keine zahlen, oder setz ich da wieder ein oder gibts eine dimensonsbegründung?

zu b) den ansatz hatte ich auch schonmal, konnte damit aber leider nichts anfagen, habe wie oben die u und w vektoren mittels den von mir gesetzten eta vektoren bestimmt und dann gleichgesetzt. habe dann alles auf eine seite gebracht und dann die matrix mit dem nullvektor hinten auf dreicksform gebracht, kamm dann auf eine lösung mit einer variablen und einem vektor, heißt das dann die dim ist 1 und der vektor da ohne den vorfaktor ist die basis?

geht das ganze auch ohne das ich irgendwelceh vektorn für eta bestimme/festsetze?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
geht das ganze auch ohne das ich irgendwelceh vektorn für eta bestimme/festsetze?


Wenn Du die Basis von so einem Schnitt erhalten willst musst Du schon wissen wie der Schnitt aussieht. Und der ist nunmal abhängig von den beiden Basen. Da deine ganzen Basisvektoren mit den etavektoren definiert sind wirst Du da wohl nicht drum rum kommen. Wenn Du einen Lösungsvektor hast dann ist der die Basis Augenzwinkern .

zu deinem a)

ausgeschrieben steht dann da:



und ausmultipliziert dann sowas:



Jetzt multiplizieren wir die etas aus!

dann steht da sowas:



So und jetzt guckst Du ob es diese Lambdas unter den gegeben Vorrausetzungen existieren.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

also bekomm ich dann die gleichungen:






und dieses LGS löse ich dann, da dies wahrscheinlich nicht möglich ist, liegt x nicht in U
klingt gut!!

und bei setzt ich eben für alle vektoren ein und löse es so wie beschreibne.

Danke, werde mich dann da heute oder morgen nochmal drübersetzen!

edit ja sowas passiert schnell beim tippen, man man man.....
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Gleichungssystem kannst Du im übrigen nur aufstellen weil die eta's linear unabhängig sind. Ansonsten müssten diese Faktoren auf der linken Seite nicht 1 sein.

edit:

Dein Gleichungssystem ist so noch falsch, es muss in der letzten Zeile 4lambda_3 heissen!
 
 
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal zur b:

icgh hab jetzt folgendes aufgestellt:


das ganze dann auf eine seite gebracht und wie bei a umgeformt.
dann in eine matrix geschrieben

und gelöst:

bekomme dann:





daus folgt dann ja durch einsetzen und umformen: und
heißt das nun die dimension des schnittes ist 1?
und der basisvektor ist dann ?
dann könnte ich jetzt 4 lin unabhänige vektoren für die etas einsetzen,
, , ,
und häte dann eine basis mit zahlen? also für k=1 ->
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