f inj., g surj.---> gof surj.

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kretek Auf diesen Beitrag antworten »
f inj., g surj.---> gof surj.
Meine Frage:
Hallo,
ich brauch Hilfe bei folgender aufgabe:
man soll folgende beh. beweisen oder widerlegen.
f: M->N, g:N->S
(i) f injektiv und g surjektiv, dann isr gof surjektiv
(ii)f surjektiv und g injektiv, dann ist gof injektiv



Meine Ideen:
Ich schätze mal, dass die erste Aussage wahr ist und die zweite falsch.
ist das schonmal richtig?
liebe grüße
kretek
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich schätze mal, dass die erste Aussage wahr ist und die zweite falsch. ist das schonmal richtig?


Wie kommst Du darauf , einfach geraten ?
kretek Auf diesen Beitrag antworten »

zur (i)

f inj und g surj ->gof surj. ist falsch.

Gegenbeispiel:
Sei f: Z->Z, x->2x. f ist inj.
Sei g:Z->Z, x-> x+1. g ist surj.

Es gilt
gof: Z->Z, x-> 2x+1 ist nicht surjektiv, da es z.B. kein x aus Z gibt mit 2x+1=0

zur (ii)
g inj. und f surj. -> gof inj. ist wahr.

f: M->N und g: N->S

(a) f ist surj. Sei also n1 und n2 aus N. Dann gibt es ein m1, m2 aus M mit f(m1)=n1 und f(m2)=n2

(b) g ist inj, d.h. für alle n1, n2 aus N gilt: Aus g(n1)=g(n2) folgt n1=n2

Also gilt g(f(m1)) = g(f(m2)). Daraus folgt wegen der Inj. von g: f(m1)=f(m2).
Daraus folgt wegen der Surj von f: n1=n2

Also ist die Verkettung dann auch injektiv? ich bin grad ein wenig verwirrt.
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

haben M,N,S irgendwelche einschränkungen? endlich, unendlich, beliebig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gegenbeispiel: Sei f: Z->Z, x->2x. f ist inj. Sei g:Z->Z, x-> x+1. g ist surj. Es gilt gof: Z->Z, x-> 2x+1 ist nicht surjektiv, da es z.B. kein x aus Z gibt mit 2x+1=0


Ja, das ist korrekt.

b)

Diese Aussage ist auch falsch. Überleg mal warum!
kretek Auf diesen Beitrag antworten »

es ist nur angegeben, dass M, N und S nicht-leer sind
 
 
kretek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuch ich auch ein Gegenbeispiel zu finden.

Sei in N auch die enthalten.

Sei f: N0->N, x-> x+1. Dann ist f surjektiv
Sei g: N->N, x->x. Dann ist g injektiv.

Es gillt gof: N0->N, x+1 ist surjektiv.

Das wäre theoretisch ein Gegenbsp. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich die Identitätsabbildung nehmen kann, da diese ja bijektiv ist, also insbesondere auch surjektiv.
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kretek
Sei f: N0->N, x-> x+1. Dann ist f surjektiv
Sei g: N->N, x->x. Dann ist g injektiv.

Es gillt gof: N0->N, x+1 ist surjektiv.


Das ist kein Gegenbeispiel
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

@ Kretek : Das Gegenbeispiel lässt sich recht einfach finden. Wähle einer Menge mit zwei Elementen und eine Menge mit einem Element. Das schränkt die möglichen Funktionenn sowieso schon ein.
kretek Auf diesen Beitrag antworten »

etwa so:
Sei g: {1,2}->{1} .g ist inj.
Sei f: {1}->{1,2,3}. f ist surj.

gof: {1,2}->{1,2,3} ist surjektiv, da jedem wert aus der def.menge mind. einer der zielmenge zugeordnet wird.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei g: {1,2}->{1} .g ist inj.


Nein, ist g nicht. Nach Definition sind Funktionen Linkstotal, sprich, jedem Element der Urbildmenge muss ein Element im Bild zugeordnet werden. Damit ist also

und , damit ist g nicht injektiv.

Zitat:
Sei f: {1}->{1,2,3}. f ist surj.


Wie soll eine Funktion surjektiv sein, wenn die Urbildmenge kleiner als die Zielmenge ist ?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

(obsolet)
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