f inj., g surj.---> gof surj. |
15.06.2011, 10:29 | kretek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f inj., g surj.---> gof surj. Hallo, ich brauch Hilfe bei folgender aufgabe: man soll folgende beh. beweisen oder widerlegen. f: M->N, g:N->S (i) f injektiv und g surjektiv, dann isr gof surjektiv (ii)f surjektiv und g injektiv, dann ist gof injektiv Meine Ideen: Ich schätze mal, dass die erste Aussage wahr ist und die zweite falsch. ist das schonmal richtig? liebe grüße kretek |
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15.06.2011, 10:32 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst Du darauf , einfach geraten ? |
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16.06.2011, 18:24 | kretek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zur (i) f inj und g surj ->gof surj. ist falsch. Gegenbeispiel: Sei f: Z->Z, x->2x. f ist inj. Sei g:Z->Z, x-> x+1. g ist surj. Es gilt gof: Z->Z, x-> 2x+1 ist nicht surjektiv, da es z.B. kein x aus Z gibt mit 2x+1=0 zur (ii) g inj. und f surj. -> gof inj. ist wahr. f: M->N und g: N->S (a) f ist surj. Sei also n1 und n2 aus N. Dann gibt es ein m1, m2 aus M mit f(m1)=n1 und f(m2)=n2 (b) g ist inj, d.h. für alle n1, n2 aus N gilt: Aus g(n1)=g(n2) folgt n1=n2 Also gilt g(f(m1)) = g(f(m2)). Daraus folgt wegen der Inj. von g: f(m1)=f(m2). Daraus folgt wegen der Surj von f: n1=n2 Also ist die Verkettung dann auch injektiv? ich bin grad ein wenig verwirrt. |
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16.06.2011, 18:57 | Cosinuspihalbe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
haben M,N,S irgendwelche einschränkungen? endlich, unendlich, beliebig? |
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16.06.2011, 21:25 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist korrekt. b) Diese Aussage ist auch falsch. Überleg mal warum! |
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16.06.2011, 22:23 | kretek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es ist nur angegeben, dass M, N und S nicht-leer sind |
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16.06.2011, 23:37 | kretek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann versuch ich auch ein Gegenbeispiel zu finden. Sei in N auch die enthalten. Sei f: N0->N, x-> x+1. Dann ist f surjektiv Sei g: N->N, x->x. Dann ist g injektiv. Es gillt gof: N0->N, x+1 ist surjektiv. Das wäre theoretisch ein Gegenbsp. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich die Identitätsabbildung nehmen kann, da diese ja bijektiv ist, also insbesondere auch surjektiv. |
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17.06.2011, 01:20 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist kein Gegenbeispiel |
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17.06.2011, 09:36 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Kretek : Das Gegenbeispiel lässt sich recht einfach finden. Wähle einer Menge mit zwei Elementen und eine Menge mit einem Element. Das schränkt die möglichen Funktionenn sowieso schon ein. |
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17.06.2011, 10:30 | kretek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
etwa so: Sei g: {1,2}->{1} .g ist inj. Sei f: {1}->{1,2,3}. f ist surj. gof: {1,2}->{1,2,3} ist surjektiv, da jedem wert aus der def.menge mind. einer der zielmenge zugeordnet wird. |
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17.06.2011, 10:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ist g nicht. Nach Definition sind Funktionen Linkstotal, sprich, jedem Element der Urbildmenge muss ein Element im Bild zugeordnet werden. Damit ist also und , damit ist g nicht injektiv.
Wie soll eine Funktion surjektiv sein, wenn die Urbildmenge kleiner als die Zielmenge ist ? |
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17.06.2011, 10:35 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(obsolet) |
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