lineare Abbildung und Diagonalmatrix

15.06.2011, 12:03	DieKleinste	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung und Diagonalmatrix Eine Abbildung f: R³->R³ ist wie folgt gegeben: Ziehen Sie durch den Punkt $\begin{eqnarray} p\in R³ \end{eqnarray}$ die Gerade mit dem Richtungsvektor v= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene E: x1 -x2 +2*x3 =0 sei das Bild f(p) Zeigen Sie f ist linear Ermitteln Sie die Basen von Kern f und von Bild f Geben Sie anschließend mit geometrischen Überlegungen eine Basis des R³ an, bezüglich der f durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Geben Sie auch die Diagonalmatrix an Hier hab ich echt überhaupt keine Ahnung wie ich das anfangen soll
15.06.2011, 12:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm Dir einen Punkt (x,y,z) und bilde wie beschrieben die Gerade (x,y,z)+t(-1,-2,2). Schneide diese mit der Ebene und berechne den Parameter t in Abhängigkeit von x,y und z. Durch Einsetzen von t in die Gerade hast Du die Abbildung in expliziter Form und kannst den Kern und das Bild bestimmen.
15.06.2011, 19:09	DieKleinste	Auf diesen Beitrag antworten »
super, das mach ich jetzt mal und wenn ich dann wirklich wieder häng, dann schreib ich einfach wieder Aber dauert noch ein wenig, brauch erstmal ne kleine Pause und was zu essen :-) Vielen Dank
15.06.2011, 20:25	DieKleinste	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also ich glaub ich habs jetzt, möcht nur wissen ob es richtig ist: also die Gerade g= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und E= $\begin{eqnarray} \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} g\cap E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann kommt raus: f(p)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} p \end{eqnarray}$ dann ob es Linear ist, schau ich mir HOM1 und HOM2 an, das passt auch so beim Kern setz ich einfach f(p)=0 da kommt dann raus Kern(f)= {0} und die Basis vom Kern ist der Nullvektor und das Bild kann ich ja einfach die Matrix umformen zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das ist dann auch gleichzeitig eine Basis vom Bild von f So bei der Diagonalmatrix bin ich mir nicht sicher, hätte jetzt einfach angesetzt mit det(f- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ E3) =0 da kommt dann raus: $\begin{eqnarray} (1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda )=0 \end{eqnarray}$ und dann weiß ich ja meine Lambdawerte und hab meine Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hoff das stimmt so

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