Diagonalisierbarkeit & Eigenräume

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silvio Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit & Eigenräume
Hallo Leute, ich könnte bei folgender Aufgabe ein paar Tipps gebrauchen:

Sei mit Körper . Untersuchen Sie auf Diagonalisierbarkeit und geben Sie die Eigenräume an:

(a) Sei mit , wobei N = () mit

(b) Es sei . Es gelte für und ein festes .


zu (a): Hier habe ich mir zuerst den Fall n=2 angeschaut und gezeigt, dass der einzige Eigenwert von B ist. Der zugehörige Eigenraum müsste dann sein:

Dieser einzige Eigenraum umfasst offensichtlich nicht den ganzen , und daraus folgt, dass B nicht diagonalisierbar ist. Weiterhin habe ich dann per Induktion gezeigt, dass für alle der einzige Eigenwert ist und dabei ausgenutzt, dass gilt. Für den zugehörigen Eigenraum folgt dann jeweils wieder: und da auch hier wieder nicht der ganze umfasst wird, ist B natürlich auch hier nicht diagonalisierbar.

Ist das so weit in Ordnung?

Zum Teil (b) fehlt mir leider bisher noch ein Ansatz.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierbarkeit & Eigenräume
Also Die Bauart ist kar. Eine Diagonalmatrix + eine obere Dreiecksmatrix mit 0 auf der Diagonale und 1 auf der ersten Nebendiagonalen. (edit: siehe unten!)



Das charakteristische Polynom ist und es liegt mit ein EW der alg. Vielfachheit n vor. Die Prüfung auch geometrische Vielfachheit steht nun an und die EV sind korrekt bestimmt. Also nicht dagonalisierbar.

Zur b fällt mir das Stichwort nilpotent ein. Da der Körper nicht endlich ist, sollte eindeutig bestimmt sein. Was etwas undurchsichtig ist, ob B nun komplett neue Bauart haben darf. Aber für die entscheidende Frage sollte es nichts ändern.

Man kann sich auch ma überlegen, was diagonalisierbar bedeuten würde, also mit Matrizen und so bekommt man hier auch einen Widerspruch.
silvio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es lässt sich ja schnell zeigen, dass der einzige Eigenwert einer nilpotenten Matrix 0 ist. Dann folgt direkt, dass keine Basis aus Eigenvektoren von B für den Endomorphismus mit existiert und nicht diagonalisierbar ist. Dann ist auch die Matrix B nicht diagonalisierbar.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wichtig ist hier eben, dass B nicht schon die Nullmatrix (Diagonalmatrix mit Nullen) ist.
silvio Auf diesen Beitrag antworten »

Schon mal vielen Dank. smile

Noch eine kurze Nachfrage: Über den Eigenraum Eig (B,0) lässt sich nichts sagen, oder? Denn wir kennen ja die Gestalt von B nicht genau... Ich weiß nur sicher, dass ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man sich mit Beispielen überlegen. Finde 2 nilpotente Matrizen mit unterschiedlichen Eigenräumen.
 
 
silvio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hab's. Nochmals danke!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte. Wink
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Habe noch eine Frage an Tigerbine:

Die Matrix, die du aufgestellt hast, ist so aber nicht richtig, oder?

Sind nicht auf der Hauptdiagonalen die lambdas und auf der Nebendiagonalen die 1en und sonst nur 0en? Also so:



Denn nach Definition von N stehen die 1en nur an den Stellen j=i+1.

Gruß Kevin
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Habe das "=" als ">=" überflogen. Danke.
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