Dividieren eines Vektors mit einer Matrix

15.06.2011, 14:06

Rentabader

Dividieren eines Vektors mit einer Matrix

Habe eine Aufgabe, in der nach der Lösung des LGS gesucht wird:

x und b sind Vektoren.

A*x = B* x + b

mit

A=
2 |-2 | 0
4 | 7 |-1
0 |-1 | 6

B=
1 |-3 | 1
2 | 7 |-2
1 | 0 | 5

b=
2
4
-2

Mein Gedanke war auf x umformen:

x= b/A-B

also

x=b* (A-B)^-1 (Invese von A-B)

für A-B habe ich

1 | 1 |-1
2 | 0 | 1
-1 |-1 | 1

Fragen: Kann man das so überhaupt machen?
Wie komme ich auf die Inverse?

15.06.2011, 14:25

tigerbine

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RE: Dividieren eines Vektors mit einer Matrize?
Das ist unlesbar. Der Ansatz ist, sich ein LGS zu schaffen.

$\begin{eqnarray*} Ax = Bx + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ax -Bx= b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-B)x= b \end{eqnarray*}$ (*)

Division: nie wieder so schreiben!

Inversion. Theoretisch korrekt, praktisch gibt es auch dafür Forum Kloppe

Denn Inversenbestimmung ist was sehr "teures".

Man löst das LGS (*) mit einem bekannten Verfahren. Hier z.B. Gauss. smile

15.06.2011, 15:21

Rentabader

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Also:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & 7 & -1 \\ 0 & -1 & 6 \end{pmatrix}; B=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 7 & -2 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}; \vec{b} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

, wenn ich jetzt

$\begin{eqnarray*} (A-B)*\vec{x}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

auflöse, steht da:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & 7 & -1 \\ 0 & -1 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 7 & -2 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}\right)*\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} A11-B11 & A12-B12 & A13-B13 \\ A21-B21 & A22-B22 & A23-B23 \\ A31-B31 & A32-B32 & A33-B33 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 X_{1} +& 1 X_{1} +& -1 X_{1} \\ 2 X_{2} +& 0 X_{2} +& 1 X_{2} \\ -1 X_{3} +& -1 X_{3} +& 1 X_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 X_{1} \\ 3 X_{2}\\ -1 X_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{4}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber dieses Ergebnis stimmt nicht mit der Lösung überein??

15.06.2011, 15:28

tigerbine

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Keine Ahnung, wie du auf deine Lösung kommst. Es ist A-B singulär. Invertieren wäre hier sowieso verboten gewesen.

Ah, du hast den Vektor falsch mit der Matrix multipliziert. Erste Komponente mal Erste Spalte, nicht mal erste Zeile.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:

Matrix A eingeben: A= [1,1,-1;2,0,1;-1,-1,1]
Vektor b eingeben: b= b=[2;4;-2]
??? Error: Assignment statements cannot produce a result.

Vektor b eingeben: b= [2;4;-2]
 
 
Durchgang 1 
===========
 
pivot = 1 
 
Zeile 2 - 2 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - -1 * Zeile 1 
 
A =
     1     1    -1
     0    -2     3
     0     0     0
b =
     2
     0
     0
 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = -2 
 
Zeile 3 - 0 * Zeile 2 
 
A =
    1.0000    1.0000   -1.0000
         0    1.0000   -1.5000
         0         0         0
b =
     2
     0
     0
 
Durchgang 3 
===========
 
pivot = 0 
Zeilenvertauschung nötig!
Matrix ist singulär!

15.06.2011, 16:29

Rentabader

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Ich komm nich drauf XD...

wenn ich das jetzt rumdrehe kommt ja erstrecht blödsinn raus ^^

dann habe ich ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 * X_{1} + 1 * X_{2} + (-1)* X_{3} \\ 2 * X_{1} + 0 * X_{2} + 1 * X_{3} \\ (-1) * X_{1} + (-1) * X_{2} + 1 * X_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X_{1} + 1 X_{2} - X_{3} \\ 2 X_{1} + X_{3} \\ - X_{1} - X_{2} + X_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also wär dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und dafür gibts keine Lösung unglücklich

... ach ich Flipp aus.

Lösung sollte sein:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2-\frac{t}{2} \\ \frac{3}{2}*t \\ t \end{pmatrix}, t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie kommt man da drauf unglücklich

15.06.2011, 16:31

tigerbine

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Ich habe es doch schon komplett vorgerechnet und nun muss man nur Rückwärtssubstitution machen. Ebenso sagte ich schon, dass eine Lösung mit Parametern rauskommt.

Die Rückwärtssubstitution musst du schon selbst leisten.

15.06.2011, 18:56

Rentabader

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Also aus dem Schrieb, konnte ich weder was von Parametern rauslesen, noch irgendwas von Rücksubstitution.

Was beschreibt hier überhaupt " Rücksubstitution"...

kenne Substitution nur als

"X² = U"...

15.06.2011, 19:07

tigerbine

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Aus dem "Schrieb", kann man den Gaußalgorithmus nachlesen. Der sollte dir ja vertraut sein. Und Fachbegriffe kann man nachschlagen Idee!

http://www.peter-junglas.de/fh/vorlesung.../html/kap3.html

15.06.2011, 22:56

Rentabader

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Also habe nun nach Gauss, das ding auf die Trapezform gebracht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

in meim "Papula" steht: "2.Fall: r<n.. Das geschaffelte System enthält weniger Gleichungen (r) als Unbekannte (n). Daher sind n-r der Unbekannten, z.B. Xr+1, Xr+2,...Xn, frei wählbare Größen (Parameter). Man erhält dann unendlich viele Lösungen mit n-r Parametern."

Wenn ich das richtig verstanden habe heißt das für mich und auf meine Aufgabe bezogen:

n=3
r=2

also n-r= 1 Parameter

Wie gehts nun mit der Erkenntnis, das ich ein Parameter habe weiter?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nun sag ich:

$\begin{eqnarray*} X_{3} = \lambda \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} 1 * X_{2} - \frac{3}{2}\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

bzw:

$\begin{eqnarray*} X_{2}= \frac{3}{2}\lambda \end{eqnarray*}$

Woraus sich für $\begin{eqnarray*} X_{3} \end{eqnarray*}$ folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} X_{1} + X_{2} - X_{3} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_{1} + \frac{3}{2}\lambda - \lambda = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_{1}= 2-\frac{\lambda }{2} \end{eqnarray*}$

Übereinstimmung mit der Lösung: Freude kommt auf.

Erstmal danke für den sanften Gedankenanstoß, nachdem ich die hieroglyphen hinter dem "Mathekauderwelsch" verstehen und einigermaßen nachvollziehen konnte, gings dann zäh bis ans Ziel. Hätte mir halt so ne art Musteraufgabe gewünscht, welche ich auf mein Problem übertragen könnte und es mir verständlich machen kann, das find ich die eleganteste Lösung beim Mathe pauken. Eine Aufgabe, dazu ne passende Beispielaufgabe mit nem ähnlichen oder bestenfalls selben Problem und schritt für schritt durchgehen, kostet wenig Zeit und ich finds super effektiv smile

.. soo... aufjedenfall nochmals danke. mfg

15.06.2011, 23:10

tigerbine

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Zitat:

Eine Aufgabe, dazu ne passende Beispielaufgabe mit nem ähnlichen oder bestenfalls selben Problem und schritt für schritt durchgehen, kostet wenig Zeit und ich finds super effektiv smile .. soo... aufjedenfall nochmals danke. mfg

1. Boardprinzip vorher lesen
2. Beispiele gibt es über die Baordsuche
3. Sie zu erstellen ist für den Helfer schon eine Menge Arbeit.

Tipp:
1. Studieren heißt nicht, dass einem alles mundgerecht vorgemacht wird. (das ist nicht böse gemeint)
2. Bei Matrizen bitte runde Kammern verwenden, Striche stehen für Determinanten.

Zitat:

Übereinstimmung mit der Lösung: Freude kommt auf.

So soll es sein.

15.06.2011, 23:27

Rentabader

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Naja aufjedenfall vielen Dank Augenzwinkern

...
Das problem am Studieren ist ja folgendes, sich immer alles klar zu machen, kostet viel Zeit und die Semester sind dazu einfach sehr knapp... sprich oftmals hilft es einem durchaus, etwas Mundgerecht ausgeteilt zu bekommen, damit man die relativ einfachen dinge schneller kapiert und mehr Zeit für die schwierig verständliche Zusammenhänge hat.

Es werden in nächster Zeit und nach aktuellem stand der Dinge noch mehr Aufgaben kommen, mit denen ich zunächst meine Schwierigkeiten haben werde, da ich mitten in der Prüfungsvorbereitung stecke.
Da bin ich immer wieder dankbar, das es Menschen wie dich gibt, die sich über mein Mangel an Verständnis ärgern könnten, dennoch nicht das Weite suchen und einem lernwilligen wie mir ^^ die Chance geben, es durch kleine schläge auf den Hinterkopf doch noch zu verstehen. smile

In diesem Sinne, einen schönen Abend noch und vielen dank nochmals.

15.06.2011, 23:30

tigerbine

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Zitat:

as problem am Studieren ist ja folgendes, sich immer alles klar zu machen, kostet viel Zeit und die Semester sind dazu einfach sehr knapp

Es kostet jeden Zeit. Augenzwinkern

Nur jeder muss den Weg selbst gehen. Komm aber gerne mit neuen Aufgaben und wir zeigen dir weitere Wegweiser. Wink

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