verallgemeinerte Cauchy-Integralformel

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15.06.2011, 17:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
verallgemeinerte Cauchy-Integralformel Meine Frage: Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} f:U\to \mathbb C \end{eqnarray}$ holomorph, so auch $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ . Für die (dann holomorphe) n-te Ableitung $\begin{eqnarray} f^{(n)} \end{eqnarray}$ gilt die Cauchysche Integralformel $\begin{eqnarray} f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial K}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z\in U \end{eqnarray}$ und für alle offenen Kreisscheiben K mit $\begin{eqnarray} z\in K,\overline{K}\subseteq U \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Vollständige Induktion über n: Für $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ hat man die "gewöhnliche" Cauchysche Integralformel, die als bewiesen vorausgesetzt wird. Für $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ schaut man sich die Cauchysche Integralformel (1) $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial K}\frac{f(w)}{w-z}dw \end{eqnarray}$ an. Hier kommt nun eine Stelle in dem Beweis, die ich nicht richtig verstehe: Der Integrand in der Cauchyschen Integralformel (1) ist bezüglich z komplex stetig differenzierbar. Daher ist das Integral nach z komplex differenzierbar und man darf Ableitung und Integration miteinander vertauschen. Dies folgt aus der entsprechenden Aussage über parameterabhängige Integrale reellwertiger Funktionen. Wenn man das ausführt, bekommt man $\begin{eqnarray} f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial K}\frac{d}{dz}\frac{f(w)}{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial K}\frac{f(w)}{(w-z)^2} dw \end{eqnarray}$ und das ist gerade die Behauptung für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ . Das rechts stehende Integral ist wieder eine holomorphe Funktion, weil der Integrand holomorph in z ist. Nimmt man nun an, dass man die Behauptung für n gezeigt hat, folgt dann analog zu eben: $\begin{eqnarray} f^{(n+1)}(z)=\frac{n!(n+1)}{2\pi i} \int_{\partial K}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+2}} dw \end{eqnarray}$ . Das blau Markierte ist mir unklar.
15.06.2011, 18:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sollte ich nochmal konkreter fragen: 1.) Inwiefern ist der Integrand komplex nach z stetig differenzierbar? Denn das ist ja die Bedingung dafür, dass man bei Parameterintegralen (wie man hier eines hat) Ableitung und Integration miteinander vertauschen darf. 2.) Wieso ist $\begin{eqnarray} f'(z) \end{eqnarray}$ holomorph, weil auf der rechten Seite der Integrand holomorph ist?
15.06.2011, 23:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich versuch's nochmal: 1.) Kann es sein, dass der Integrand einfach deswegen komplex stetig differenzierbar ist, weil dies für holomorphe Funktionen so definiert ist? Ich habe nämlich gelesen, dass eine Funktion dann holomorph heißt, wenn sie im Definitionsgebiet überall komplex differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist. Deswegen kann man wohl (nach Aufspaltung in Real- und Imaginärteil?) die Integration und die Ableitung vertauschen. Da man sich dann "im reellen Fall" befindet und alle Kriterien erfüllt sind, damit man Tauschen darf. Keine Ahnung, ob das so stimmt. Und wahrscheinlich kann man alternativ analoge Eigenschaften (wie das Vertauschenkönnen von Ableitung und Integration) auch für komplexe Parameterintegrale herleiten, sodass man sich das Aufspalten in Real- und Imaginärteil auch sparen kann. 2.) Das würde sich dann genauso wie 1.) erklären. Der Integrand ist halt holomorph und dann kann man wieder unter dem Integral ableiten. Ich denke mal, dass man auch hier wieder aufspaltet und so die komplexe Differentiation über die reellen Para,eterimtegrale löst oder dass man wieder im Komplexen bleiben kann und entsprechend auch so unterm Integral differenzieren kann. Sind das richtige Überlegungen? Und man kann dann wohl aus den Eigenschaften reeller Parameterintegrale analoge Eigenschaften für komplexe Parameterintegrale herleiten.
16.06.2011, 00:21	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
also zu eins ... wenn du den integrand fuer ein z_0 in der kreisscheibe differenzierst bekommst du mmit der kettenregel des hier => $\begin{eqnarray} \frac{d}{dz}\cdot \frac{f(w)}{w-z}(z_{0}=-\frac{f(w)(-z_{0})}{(w-z_{0})^2} \end{eqnarray*}$ naja und nun überprüfst du ob das stetig ist ... das geht auch ganz schnell .... zu 2) naja hier leitest du einfach die ableitung von f nochmal ab und weil das teil im integrand stetig diffbar ist darfst du das gleiche wie davor wieder machen
16.06.2011, 06:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist ja dann doch gar nicht so kompliziert! Ich denke, das habe ich verstanden. Eine Frage habe ich aber noch: Das mit dem Vertauschen von Ableitung und Integration, wenn der Integrand stetig differenzierbar ist, kenne ich nur für reelle Parameterintegrale. Wieso kann man das hier dann anwenden? Es handelt sich doch um ein komplexes Integral.
16.06.2011, 12:01	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
ja da haste recht ... normalerweise nimmt man bei einem reellen integral die regel von leibniz her .... hier geht das aber auch nicht so schwer .... also im allgemeinen fall mussd du beweisen dass , $\begin{eqnarray} \bigg\|\int_C \frac{f(z+h,w)-f(z,w)}{h} dw -\int_C \frac{d}{dz} \cdot f(z,w) dw \bigg\| \end{eqnarray}$ fuer eine komplexe funktion f(z,w) gegen null geht ... natürlich muss die funktion gewisse anforderungen erfüllen aber das lass ich hier mal weg ... verushc doch einfach mal fuer deinen integrand das zu beweisen und du merkst was alles erfüllt sein muss
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08.08.2011, 17:39	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Cauchy-Integralformel Das alles kann man auch viel schöner zeigen, wenn man verwendet, dass man eine holomorphe Funktion (lokal) als Potenzreihe entwickeln kann! Siehe dazu Königsberger, Analysis 2, 5. Auflage, Seite 205.
08.08.2011, 17:45	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Cauchy-Integralformel Achso, Du hast auch noch gar nicht argumentiert, dass die Ableitung ebenfalls holomorph ist. Das ist auch in Deiner Aufgabe gefordert, wie ich es verstehe. Ist aber ganz einfach, wenn Du auch hier die Potenzreihenentwicklung benutzt! Denn nach dem Entwicklungssatz haben ja holomorphe Funktionen lokal die gleichen Eigenschaften wie Potenzreihen. Nun ist ja die Ableitung einer Potenzreihe wieder eine Potenzreihe und daraus folgt schon, dass jede holomorphe Funktion f beliebig oft komplex-differenzierbar ist und alle Ableitungen holomorph sind. Denn was zeichnet Potenzreihen aus?
08.08.2011, 18:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verallgemeinerte Cauchy-Integralformel Danke für Deinen Hinweis auf den eleganten Beweis. Jetzt, da ich auch den Entwicklungssatz für holomorphge Funktionen kenne, würde ich diesen Weg natürlich jederzeit empfehlen. Und um auf Deinen anderen Hinweis zu kommen: Stimmt, genau gelesen, steht in der Aufgabe wohl auch, dass ich zeigen muss, dass die Ableitung auch holomorph ist: Lokal haben holomorphe Funktionen die gleichen Eigenschaften wie Potenzreihen. Diese sind 1.) auf ihrem Konvergenzkreis unendlich oft (gliedweise) differenzierbar und 2.) sind die Ableitungen wieder Potenzreihen. Potenzreihen sind aber ja Polynome und die sind holomorph. Das mit dem Konvergenzradius ist wichtig. Aber das steckt ja sozusagen schon in der Formulierung des Entwicklungssatzes drin. Dort heißt es ja: "Eine holomorphe Funktion f in der offenen Menge $\begin{eqnarray} U\in\mathbb C \end{eqnarray}$ kann in jeder Kreisscheibe $\begin{eqnarray} K_p(a)\subset U \end{eqnarray}$ in eine Potenzreihe $\begin{eqnarray} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n \end{eqnarray}$ entwickelt werden. Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der Abstand des Punktes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ vom Rand $\begin{eqnarray} \partial U \end{eqnarray}$ . [...]"

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